To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Zestaw 2.
Liczby zespolone (cz. I)
Zadanie 1. Udowodni´ nastepujace w÷ sci dzia÷n w zbiorze liczb zespolonych:
c
¾
¾
asno´
a´
a) 8z1 ; z2 2 C : z1 + z2 = z2 + z1 ;
b) 8z1 ; z2 ; z3 2 C : (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) ;
df
c) 8z 2 C : z + 0 = z; gdzie 0 = (0; 0) ;
d) 8z 2 C : z
z = 0;
e) 8z1 ; z2 2 C : z1 z2 = z2 z1 ;
f) 8z1 ; z2 ; z3 2 C : (z1 z2 ) z3 = z1 (z2 z3 ) ;
df
g) 8z 2 C : z 1 = z, gdzie 1 = (1; 0) ;
h) 8z 2 Cn f0g 9!z 0 2 C : zz 0 = 1; 1
i) 8z1 ; z2 ; z3 2 C : z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 :
Zadanie 2. Niech z; z1 ; z2 2 C. Poda´ interpretacje geometryczna nastepujacych
c
¾
¾
¾
¾
liczb:
a) z; b) z; c) z1 + z2 ; d) z1
z2 ; e) jzj ; f)* z1 z2 :
Zadanie 3. Dla liczb zespolonych uzasadni´ ponizsze zalezno´
c
·
· sci:
a) z1 z2 = z1 z2 oraz
z1
z2
=
z1
,
z2
b) zz = jzj2 ;
c) jz1 z2 j = jz1 j jz2 j oraz
z1
z2
=
d) Re z 6 jzj oraz Im z 6 jzj;
dla z2 6= 0;
jz1 j
;
jz2 j
dla z2 6= 0,
e) jz1 + z2 j 6 jz1 j + jz2 j;
jz2 jj 6 jz1
f) jjz1 j
z2 j.
Zadanie 4. Sprowadzi´ do postaci algebraicznej (dwumiennej) nastepujace
c
¾
¾
wyrazenia:
·
a)
b)
c)
1
1+cos
1
+i sin
3
;
3
1 2i
;
3i+2
1
2+i
+ 2 i;
i
Symbol 9! oznacza „
istnieje dok÷
adnie jeden”
.
1
d)
(1+i)n
;
(1 i)n 2
dla n 2 N;
+ i sin )n ; dla n 2 N;
e)* (cos
+ i cos )n ; dla n 2 N.
f)* (sin
Zadanie 5. Rozwiaza´ równania z niewiadomymi z 2 C; x; y 2 R:
¾ c
a) z 2 + (3
2i) z + 1
3i = 0;
b) jzj + z = 1 + i;
c)
(1 + 2i) x + (2 2i) y = 5 + 4i
;
(3 i) x + (4 + 2i) y = 2 + 6i
d)
(1 2i) x (1 4i) y = 2 2i
;
( 2 i) x + (2 + 2i) y = 4 i
e) (z
f)
1+i
z
4
2)2 + 2 Im z + z = 1;
=
2 3i
;
z
2
g) z + 4z
5 = 0;
h) z 4 + 4z 2 + 8 = 0;
i) (3
i) x2
j) (2 + 3i) x
(3 + 2i) x
2
(1
i) y = 13
10i;
(2 + i) x + (4
4i) y = 8
17i:
Zadanie 6. Na p÷
aszczy´ nie zespolonej zaznaczy´ liczby zespolone z, dla których
z
c
b) liczba
z+4
z 2i
z
iz+4
c) liczba
(z a)2 z a
z a
d) liczba
z+i
z i
a) liczba
jest rzeczywista,
jest czysto urojona,
2 jest niedodatnia,
nie jest ujemna.
Zadanie 7. Na p÷
aszczy´ nie zespolonej zaznaczy´ wszystkie liczby zespolone z,
z
c
których modu÷
jest liczba ca÷
¾ kowita oraz dla których liczba z 2 + (1 + i) z jest
¾
czysto urojona.
2
Odpowiedzi
Zadanie 3: c) Wskazówka: wykorzysta´ w÷ sci a) i b); e) Wskazówka: dla
c asno´
z1 + z2 6= 0 mamy:
z2
z1
+
z1 + z2 z1 + z2
jz1 j
jz1 j
6
+
;
jz1 + z2 j jz1 + z2 j
1 = Re
z1
z1 + z2
= Re
+ Re
z2
z1 + z2
d)+c)
6
e)
z2 + z2 j 6 jz1
f) jz1 j = jz1
Zadanie 4: a)
1
2
i
p
3
;
6
b)
4
13
z2 j + jz2 j, nastepnie zamieni´ rola z1 i z2 .
¾
c
¾
7
i;
13
c)
3
5
i
;
5
d) 2in 1 ; e) cos n + i sin n ;
f) in (cos n
i sin n ) =
(
( 1)n=2 cos n + i ( 1)1+n=2 sin n ,
n = 2k
; dla k 2 N:
=
(n 1)=2
(n 1)=2
( 1)
sin n + i ( 1)
cos n , n = 2k + 1
Zadanie 5: a)
2 + i; 1 + i;
b) i;
c) ?;
d) x = 3; y = 1;
e)
3
2
+i 1+
p
7
2
p
7
2
;
1+
;3 +i 1
2
p
f) ?;
p p
1; 1; i 5; i 5;
p
p
h)
1
2; 1 + 2 ;
p
p
2; 1
2 ;
1
g)
i) (x; y) 2 f(3; 5),
j) ?;
1
;
2
2; 1
3
10 4 g;
Zadanie 6: a) (x; y) : y =
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)