To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Zasada indukcji zupełnej:
Jeśli W jest własnością określoną w zbiorze liczb naturalnych, taką że 1) liczba n0 ma własność W („podstawa indukcji”)
2) dla każdej liczby naturalnej n ≥ n0prawdziwa jest implikacja: jeśli n ma własność W, to n+1 też ma własność W („krok indukcyjny”)
to każda liczba naturalna n ≥ n0 ma własność W. Wartość bezwzględna (moduł) liczby rzeczywistej x: | x | = . Własności modułu:
1) | x | ≥ 0 2) | x | = 0 ⇔ x = 0
3) | x | = | - x | 4) | x⋅y | = | x | ⋅ | y |
5) dla y ≠ 0
6) | x + y | ≤ | x | + | y |
7) | x - y | ≥ | x | - | y |
8) || x | - | y || ≤ | x ± y | ≤ | x | + | y |
Funkcje:
1) Funkcja f jest różnowartościowa (jest bijekcją) w zbiorze A, gdy dla każdych x1 i x2 ze zbioru A zachodzi własność 2) Funkcję nazywamy funkcją rosnącą (malejącą) w podzbiorze A zbioru liczb rzeczywistych R, jeśli dla każdej pary liczb x1 f (x2))
2a) Funkcję nazywamy funkcją niemalejącą (nierosnącą) w podzbiorze A zbioru liczb rzeczywistych, jeśli dla każdej pary liczb x1 ≤ x2 z tego zbioru zachodzi warunek f (x1) ≤ f (x2) (odpowiednio f (x1) ≥ f (x2))
3) Funkcja jest parzysta w zbiorze A ⊂ R ⇔ ∀ x ∈ A [( - x ∈ A ) ∧ ( f (-x) = f (x))]
4) Funkcja jest nieparzysta w zbiorze A ⊂ R ⇔ ∀ x ∈ A [( - x ∈ A ) ∧ ( f (-x) = - f (x))]
5) Funkcja jest okresowa w zbiorze A ⊂ R ⇔ ∃ T ≠ 0 ∀ x ∈ A [(x + T ∈ A ) ∧ ( f (x + T) = f (x))]
6) Jeżeli f (x) jest funkcją różnowartościową, określoną na zbiorze A, a jej zbiór wartości oznaczymy przez B, to związek y = f (x) określa w zbiorze B funkcję g, zwaną funkcją odwrotną do f, x = g (y), którą definiujemy w następujący sposób:
dowolnej liczbie y0 ze zbioru B, przyporządkowujemy taką (w istocie - jedyną) liczbę x0 ze zbioru A, dla której y0 = f (x0)
Dla funkcji f i g zachodzą następujące związki:
dla każdego y ∈ B f(g(y)) = y oraz dla każdego x∈ A g(f(x)) = x wykresy funkcji f i g są położone symetrycznie względem dwusiecznej kąta zawartego między dodatnimi półosiami współrzędnych.
Funkcje cyklometryczne (kołowe)
1) Funkcją arcus sinus nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sinus o dziedzinie zawężonej do przedziału . , przy czym (y= arcsin x) ⇔ (
(…)
… odwrotną:
a) b) c) 14a) Dana jest funkcja f. Znaleźć maksymalne przedziały, w których istnieje funkcja do niej odwrotna (ściślej: że dla funkcji ograniczonej do takiego przedziału istnieje funkcja odwrotna). Znaleźć tę funkcję odwrotną dla każdego z tych przedziałów.
a) f(x)= |x2-1| b)
15) Rozwiązać równania:
a) 3 sin x = 2 cos2 x b) sin x = cos 2x c) cos x + tg x = 1 + sin x, 0 < x < 2π
16) Narysować…
…) i oznaczamy (an)
2) Ciąg (an) nazywamy ograniczonym, jeśli istnieje liczba M, taka że | an | < M dla każdego n ∈ N
3) Liczbę g nazywamy granicą ciągu ( ) ⇔ ∀ ε > 0 ∃ N ∀ n ≥N (| an - g | < ε)
4) Tw. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. (W szczególności, ciąg niemalejący i ograniczony z góry, a także nierosnący i ograniczony z dołu, jest zbieżny.)
5) Tw. o trzech ciągach: Jeżeli , a ponadto istnieje…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)