Wrocław, 13 lutego 2012 r. Zadania z matematyki dla I roku bioinformatyki Lista 2: zbiory, funkcje i relacje, metryki Definicje obiektów, do których odwołują się zadania, można znaleźć w elektronicznej wersji notatek z wykładu. Zadania oznaczone znakiem * są przeznaczone dla zainteresowanych. Zadanie 1. Znajdź i zapisz część wspólną oraz sumę zbiorów A i B w następujących przypadkach: a ) A : zbiór liczb naturalnych parzystych, B : zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 3. b ) A : zbiór punktów wykresu funkcji y = x 2, B : zbiór rozwiązań nierówności y
(…)
… liczb naturalnych parzystych, B : zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 3.
b) A : zbiór punktów wykresu funkcji y = x2 , B : zbiór rozwiązań nierówności y < |x|.
p
c) A : zbiór liczb wymiernych W; B : zbiór ułamków postaci q , gdzie 0 < p q, zaś q ∈ { 1, 2, 3, 4, 5 },
d) * A : zbiór wszystkich funkcji parzystych R → R, B : zbiór wszystkich funkcji potęgowych R → R.
Zadanie 2. Z ilu elementów składają się następujące zbiory:
a) zbiór liczb pierwszych mniejszych od 20,
b) zbiór dzielników liczby 48,
c) zbiór { n + m : n ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 } ∧ m ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 } },
d) P(∅),
e) P({ 0 }),
f ) P({ a, b, c, d }), gdzie a, b, c, d są parami różne,
g) zbiór słów (ciągów znaków) będących częścią słowa „akuku”,
h) * zbiór palindromów (ciągów znaków jednakowo odczytywanych od początku i od końca…
… 5. * Wskaż przykład rodziny zbiorów skończonych, w której część wspólna wszystkich zbiorów jest
pusta, ale część wspólna żadnej jej niepustej właściwej podrodziny nie jest pusta. Czy taka rodzina może być
dowolnie duża?
Zadanie 6. * Wskaż rodzinę podzbiorów zbioru liczb naturalnych N, taką by dowolny skończony układ zbiorów tej rodziny posiadał wspólny element, lecz by nie istniała żadna liczba…
… przez te same liczby pierwsze, określonej dla m, n ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }.
Zadanie 9. Rozpatrujemy płaszczyznę R2 . Funkcja d jest metryką euklidesową, wyznaczającą „zwykłą” odległość między punktami płaszczyzny. Czy następujące relacje określone dla x, y ∈ R2 :
a) x R y ⇔ d(p, x) = d(p, y), gdzie p = 0, 0 ,
1
b) x Q y ⇔ d(x, y) = 1,
są relacjami równoważności?
Zadanie 10. Dany jest zbiór L wszystkich słów utworzonych z liter łacińskich. Czy następujące relacje zdefiniowane dla słów a, b ∈ L:
a) a P b ⇔ a i b mają tę samą długość,
b) a Q b ⇔ a i b rozpoczynają się od tego samego znaku,
c) a R b ⇔ a i b są zbudowane z tych samych znaków,
d) a S b ⇔ a i b różnią się co najwyżej jednym znakiem,
są relacjami równoważności?
Zadanie 11. * Dla relacji występujących w zadaniach 8–10., będącymi relacjami…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)