To tylko jedna z 10 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
prof. P.P. Andrzej Rybarczyk. Notatka składa się z 10 stron.
Zastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a Przykªad 1 Rozwi¡» jednorodne równanie ró»niczkowe liniowe ¨ y(t) + 5 ˙y(t) + 6y(t) = 0 z warunkami pocz¡tkowymi y(0+) = a, ˙y(0+) = b. Rozwi¡zanie Dokonuj¡c transformacji Laplace'a, uzyskujemy s2Y (s) − sy(0+) − ˙y(0+) + 5(sY (s) − y(0+)) + 6Y (s) = 0 sk¡d wynika, »e Y (s) = 5a + b + as 6 + 5s + s2 = 5a + b + as (2 + s)(3 + s) . Bieguny funkcji Y (s) s¡ wi¦c biegunami pojedynczymi. Rozkªadaj¡c Y (s) na uªamki proste, otrzymujemy Y (s) = 3a + b 2 + s − 2a + b 3 + s . 1 Rozwi¡zanie w dziedzinie czasu wyznaczamy korzysta- j¡c z odwrotnej transformacji Laplace'a y(t) = L−1(Y (s)) = (3a+b)·e−2t−(2a+b)·e−3t, t ≥ 0. (1) Sprawd¹my otrzymany wynik, stosuj¡c wzór Haeviside'a y(t) = L(s) M (s) s=−2 · e−2t + L(s) M (s) s=−3 · e−3t, t ≥ 0 w którym Y (s) = L(s) M(s) , M (s) = dM(s) ds . Zatem, uwzgl¦dniaj¡c równo±¢ M (s) = 5+2s, otrzy- mujemy wyra»enie dane wzorem (1). Przykªad 2 Rozwi¡» równanie caªkowo-ró»niczkowe ˙y(t) + 4 t 0 e(t−τ)y(τ )dτ + 3y(t) = 1, y(0+) = 1. Rozwi¡zanie Dokonuj¡c transformacji Laplace'a, otrzymujemy sY (s) − y(0+) + 4 · L(et ∗ y(t)) + 3Y (s) = 1/s. 2 Sk¡d wynika, »e Y (s) = s − 1 s(1 + s) = 1 1 + s − 1 s(1 + s) a nast¦pnie (znane wzory!) y(t) = e−t − (1 − e−t) = 2e−t − 1, t ≥ 0. Przykªad 3 Rozwi¡» niejednorodne równanie ró»niczkowe y(3)(t) + 4y(2)(t) + 4y(1)(t) + 3y(t) = u(t) zakªadaj¡c wymuszenie u(t) w postaci jednostkowej funkcji skokowej oraz warunki pocz¡tkowe: y(0+) = 1, y(1)(0+) = 2, y(2)(0+) = 3. Rozwi¡zanie Stosujemy wzory: L(y(1)(t)) = sY (s) − y(0+) L(y(2)(t)) = s2Y (s) − sy(0+) − y(1)(0+) L(y(3)(t)) = s3Y (s) − s2y(0+) − sy(1)(0+) − y(2)(0+). 3 Na tej podstawie mamy Y (s) = 1 + 15s + 6s2 + s3 s(3 + 4s + 4s2 + s3) . (2) Rozkªadaj¡c (2) na uªamki proste, uzyskujemy Y (s) = 1 3s + 0.80952 3 + s − −4.28571 + 0.14286s 0.866032 + (0.5 + s)2 . Na tej podstawie otrzymujemy y(t) = 0.33333 + 0.80952e−3t + 5.03322e−5t · sin(0.86603t − 0.02839), t ≥ 0. Przykªad 4 Znale¹¢ warto±¢ pocz¡tkow¡ pochodnej sygnaªu f(t), gdy dana jest jego transformata Laplace'a F (s) = 1 + 3s 1 + s + s2 . Rozwi¡zanie Niech g(t) = ˙f(t). Wtedy G(s) = L(g(t)) = sF (s) − f (0+). 4 Ale f (0+) = lim t→0+ f (t) = lim s→∞ sF (s) = lim s→∞ s + 3s2 1 + s + s2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)