Zastosowanie pochodnych - omówienie

Zastosowanie pochodnych:
Ekstrema:
Mówimy, że f ma w p. Xo min (max) lokalne, jeśli istnieje 0 takie, że f(X)f(Xo) ( że różniczkowalna w (a,b) oraz f(a) = f(b), to istnieje c (a,b) takie, że f `(x) = 0.
f jest stała
wtedy f `(c) = 0
c (a,b) f nie jest stała
Z tw. istnieją punkty x1,x2
f(x1) = min f(x): x
f(x2) = max f(x): x
Co najmniej jeden z punktów x1 , x2 nie jest końcami przedziału (np. x (a,b)).
f `(Xo) = tg = tg0 = 0
W p. x1 jest min tak, więc z Lomat Fermata f `(x) = 0
przyjmujemy c=x1 Tw. Lagrange'a ( o warości średnio):
Jeśli f jest ciągła na i różniczkowalna w (a,b) to istnieje c (a,b) taki, że f `(c) = Dowód: Definiujemy g(x) = f(x) - Z tw. Rolle'a istnieje c (a,b) g '(c) = 0
Ponieważ g `(c) = f `(c) - Wniosek z tw. Lagrange'a:
Jaśli f `(x)0 (0
x (a,b)
Niech x1, x2 (a,b), x10
f `(c) z tw. Lagrange'a 0 0
czyli
f(x1) ... zobacz całą notatkę