Zasadnicze twierdzenie arytmetyki - omówienie

Zasadnicze twierdzenie arytmetyki
Dla każdej liczby naturalnej n 1 istnieje dokładnie jeden ciąg liczb pierwszych q1, ... , qn oraz ciąg liczb większych od 0 a1, ... , am taki, że q1 1 ⇒ ∃p (p jest liczbą pierwszą ∧ p | n)]
Lemat 2. ∀n ∀m [(n | m ∧ m ≠ 0) ⇒ n ≤ m]
Lemat 3. ∀a ∀b ∀p [(a 1 ∧ b 1 ∧ p jest liczbą pierwszą ∧ p | a · b) ⇒ (p | a ∨ p | b)]
Dowód lematu 3. Przypuśćmy niewprost, że tak nie jest. Zatem istnieją liczby naturalne a, b 1 i liczba pierwsza p takie, że p | a · b, ~ p | a oraz ~ p | b. Na mocy zasady minimum istnieje najmniejsza liczba pierwsza taka, że p | a · b, ~ p | a oraz ~ p | b. Niech p będzie tą liczbą.
Zał. ind.: Na mocy zasady minimum istnieje najmniejszy iloczyn a · b taki, że p | a · b, ~ p | a i ~ p | b. Niech a · b będzie tym iloczynem.
Uwaga: a · b r.
Skoro p | a · b, to istnieje liczba całkowita d 1 taka, że a · b = p · d. Zatem istnieje liczba pierwsza q taka, że q | d. Stąd q | a · b. Z Uwagi wynika, że q 1 będzie liczbą taką, że dla każdego k 1, wówczas k ... zobacz całą notatkę