Zadania z teorii sygnałów cz. VI

Zadania z Teorii Sygnałów, 5-6 XII 2013
Zadanie 1 Proszę wyznaczyć i zbadać odpowiedź skokową 1W (t) idealnego filtru dolnoprzepustowego o transmitancji H(ω) = 2W (ω) na skok jednostkowy
x(t) = 1(t). Sygnał wejściowy narasta od zera do jedności w nieskończenie krótkim czasie. Skokowa zmiana poziomu sygnału na wyjściu filtru jest rozciągnięta
w czasie. Jako czas narastania tn sygnału wyjściowego określamy czas, w którym sygnał wyjściowy narasta od swojej minimalnej do maksymalnej wartości.
Proszę udowodnić związek: tn = 2π = const. Proszę udowodnić, że poziom przesterowania sygnału wyjściowego (ponad poziom jednostkowy) jest niezależny od
szerokości W pasma przepustowego filtru.
Zadanie 2 Proszę wyznaczyć związek pomiędzy widmem sygnału x(t) a widmem sygnału wygładzonego y(t). Przez wygładzanie sygnału x(t) rozumiemy
operację określoną w następujący sposób:
t+
1
y(t) =
2
x(τ )dτ
(1)
t−
Zadanie 3 Sygnał x(t) ⇔ X(ω) jest sygnałem dolnopasmowym - X(ω) = 0 dla
|ω| W . Tworzymy sygnał spróbkowany:
∞
x(nT )δ(t − nT )
x (t) =
(2)
n=−∞
Proszę wyznaczyć widmo sygnału spróbkowanego, a następnie udowodnić, że w
π
przypadku W = T , a więc gdy próbkujemy z częstotliwością dwukrotnie większą
od częstotliwości granicznej W sygnału x(t), filtracja sygnału spróbkowanego
xs tar(t) w idealnym filtrze dolnoprzepustowym o szerokości pasma przepustoω
wego W i transmitancji T
2W ⇔ Sa(W t) pozwala odtworzyć sygnał x(t) z
sygnału spróbkowanego xs tar(t). Proszę wyrazić wartości sygnału x(t) w dowolnej chwili poprzez wartości jego próbek x(nT ), n = 0, ±1, ±2, ...
Zadanie 4 Rozważmy zagadnienie aproksymacji sygnału x(t) za pomocą innego
sygnału v(t), x(t) ≈ αv(t), gdzie α jest pewnym współczynnikiem, którego wartość należy tak dobrać, aby miara błędu aproksymacji była jak najmniejsza. Wyznaczyć optymalną wartość współczynnika α oraz odpowiadającą jej minimalną
wartość miary błędy aproksymacji. Co to jest współczynnik korelacji dwóch sygnałów? Jak definiujemy funkcję interkorelacji dwóch sygnałów (i jak wiąże się
1
ona z współczynnikiem korelacji dwóch sygnałów)? Jak definiujemy funkcję autokorelacji sygnałów (i jak wiąże się ona ze wspomnianymi wyżej miarami)?
Zadanie 5 Sygnał x(t) = 1(t)e−αt , α 0 jest sygnałem wejściowym filtru dolnoprzepustowego o charakterystyce amplitudowej:
β
|H(ω)| =
β 2 + ω2
(3)
Wyznacz związek pomiędzy parametrami α oraz β tak, aby energia sygnału wyjściowego filtru była równa połowie energii sygnału wejściowego.
Zadanie 6 Co to jest próbkowanie chwilowe? Co to jest próbkowanie naturalne?
Czym różni się widmo sygnału próbkowanego chwilowo od widma sygnału próbkowanego naturalnie?
2
... zobacz całą notatkę