Zadania z teorii sygnałów cz. V

Zadania z Teorii Sygnałów, 28-29 XI 2013
Zadanie 1 Proszę pokazać, że jeżeli x(t) ⇔ X(ω), to
dx
dt
∗
1
πt
⇔ ωX(ω).
Zadanie 2 Proszę udowodnić tożsamość
lim an
W →∞
sinW t
= δ(t)
πt
(1)
Zadanie 3 Proszę, korzystając z twierdzenia Rayleigha, udowodnić, że:
∞
dt
(t2
+
a2 ) (t2
+
b2 )
=
π
ab (a + b)
(2)
−∞
dla a, b 0.
Zadanie 4 Proszę udowodnić twierdzenie o splocie w dziedzinie częstotliwości:
x(t)y(t) ⇔
1
X(ω) ∗ Y (ω)
2π
(3)
Zadanie 5 Proszę udowodnić, że zbiór sygnałów {SaW (t−kT ) : k = 0, ±1, ±2, ...}
π
jest ortogonalny w przedziale czasu (−∞, ∞), przy czym W = T . Proszę wyznaczyć rozkład sygnału x(t) ⇔ X(ω) w szereg względem funkcji tego układu, przy
założeniu że widmo X(ω) sygnału x(t) ma skończone pasmo |ω| ≤ W . Potrzebne
transformaty Fouriera można odczytać z tablic.
Zadanie 6 Proszę wyznaczyć i zbadać odpowiedź skokową 1W (t) idealnego filtru dolnoprzepustowego o transmitancji H(ω) = 2 W (ω) na skok jednostkowy
x(t) = 1(t). Sygnał wejściowy narasta od zera do jedności w nieskończenie krótkim czasie. Skokowa zmiana poziomu sygnału na wyjściu filtru jest rozciągnięta
w czasie. Jako czas narastania tn sygnału wyjściowego określamy czas, w którym sygnał wyjściowy narasta od swojej minimalnej do maksymalnej wartości.
Proszę udowodnić związek: tn = 2π = const. Proszę udowodnić, że poziom przesterowania sygnału wyjściowego (ponad poziom jednostkowy) jest niezależny od
szerokości W pasma przepustowego filtru.
Proszę zapoznać się ze właściwościami przekształcenia Fouriera i twierdzeniami z nimi związanymi. Wiele z nich będzie potrzebnych przy rozwiązywaniu
powyższych zadań.
1
... zobacz całą notatkę