Z-transformacja

1 Z-TRANSFORMACJA Spis treści 1. Definicja 2. Przykłady transformat 3. Własności  z -transformacji 4. Związek  z -transformacji z transformacją Fouriera 5. Z -transformacja sygnału dwuwymiarowego 2 Definicja  z-transformacji ∑ ∞ −∞ = − = n n z n s z s ) ( ) ( ℑ ∈ z Z- transformata jest szeregiem Laurenta gdzie: s ( n )  są wartościami dyskretnego sygnału, z   jest zmienną zespoloną, tzn. 3 Odwrotna  z-transformacja ∑ ∞ −∞ = − = n n z n s z s ) ( ) ( ∫ ∫ ∑ ∞ −∞ = − − − = K K n n k k dz z n s dz z z s 1 1 ) ( ) ( ∫ ∫ ∑ − − ∞ −∞ = − = K n k K n k dz z n s dz z z s 1 1 ) ( ) ( ∫ ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = − − K n k n k n k j dz z gdy 0 gdy 2 1 π ∫ − = K n dz z z s j n s 1 ) ( 2 1 ) ( π Mnożąc obustronnie przez   zk- 1 i licząc całkę okrężną po dowolnym zamkniętym konturze   K  zawierającym wewnątrz  0,  otrzymujemy Zmieniając kolejność całkowania i sumowania otrzymujemy Wykorzystując zależność otrzymujemy ostatecznie 4 Obszar zbieżności  z-transformaty r 2 r 1 r 1r ∑ ∞ −∞ = − = n n z n s z s ) ( ) ( Zbieżność szeregu jest zależna od wartości sygnału.  Dla przykładów abstrakcyjnych najczęstsze obszary zbieżności są przedstawione  na poniższych rysunkach.  Im  z Im  z Re  z Re  z 5 Praktyka odtwarzania sygnału L L + + + + − + − + = − − 2 1 2 ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( z s z s s z s z s z s ∑ ∞ −∞ = − = n n z n s z s ) ( ) ( definiującym przekształcenie odwrotne. Jeżeli taka potrzeba istnieje,  łatwiej jest obliczać kolejne współczynniki szeregu Laurenta ∫ − = K n dz z z s j n s 1 ) ( 2 1 ) ( π W praktyce trudno jest posługiwać się wzorem czyli korzystać z definicji  z- transformacji 6 Transformata impulsu Diraca ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = 0 dla 0 0 dla 1 ) ( n n n δ 1 ) ( = z δ C z ∈ ∑ ∞ −∞ = − = n n z n s z s ) ( ) ( Korzystając z definicji  z -transformacji można wyliczyć  z -transformatę dla dyskretnego impulsu Diraca Natychmiast otrzymujemy a obszar zbieżności jest zbiorem liczb zespolonych, czyli 7 Transformata skoku jednostkowego ⎩ ⎨ ⎧ ≥

(…)

… = −∞
Otrzymujemy szereg geometryczny
∞
u ( z ) = ∑ z −n = 1 + z −1 + z −2 +L
n =0
którego pierwszym wyrazem jest a1 = 1 a ilorazem q = z −1
Szereg ten jest zbieżny do
N
u ( z ) = lim ∑ z − n =
N →∞
n =0
a1
z
=
1− q z −1
Warunek zbieżności q < 1 wyznacza obszar zbieżności z > 1
7
Graficzna prezentacja z-transformaty
skoku jednostkowego
|ū(z)|
1
9
8
7
0.5
6
5
0
4
-5
0
⎧0 dla n < 0
u ( n) = ⎨
⎩1 dla n ≥ 0
5
3
2
1
0
4
2
0
Im z
-2
-4
-4
u ( z) =
-2
z
dla
z −1
0
|z|>1
2
4
Re z
8
Kolejny przykład transformaty
Do obliczenia z-transformaty dla sygnału
dla n < 0
= a n u ( n)
dla n ≥ 0
⎧0
s ( n) = ⎨ n
⎩a
posłużymy się definicją
s ( z) =
∞
∑ s ( n) z
−n
n = −∞
otrzymując
∞
(
s ( z ) = ∑ az
)
−1 n
n =0
Jest to szereg geometryczny zbieżny do
s ( z) =
1
1 − az −1
Z warunku zbieżności q = a / z wynika obszar zbieżności…
… w wyniku odwrócenia czasu jest zdefiniowany
nierównościami
1 / r2 < z < 1 / r1
15
Różniczkowanie transformaty
Zróżniczkowanie z-transformaty i pomnożenie jej przez –z powoduje
odpowiada pomnożeniu próbek sygnału dyskretnego przez wartości czasu
dyskretnego. Otrzymujemy zatem parę
ns(n) ⇔ − z
ds
dz
16
Transformata korelacji sygnałów
Sygnał powstały jako korelacja dwóch sygnałów posiada z-transformatę…
… = −∞ k = −∞
−n
=
∞
∑
∞
k = −∞
s1 (k ) ∑ s 2 (n − k ) z −n =
=
n = −∞
∞
s1 (k ) z −k s 2 ( z ) = s1 ( z )s 2 ( z )
∑
k = −∞
13
Skalowanie w z-dziedzinie
Jeżeli w z-transformacie zmienimy zmienną z na zmienną z/a to w dziedzinie
czasu odpowiada to pomnożeniu sygnału przez an, czyli
s ( z / a ) ⇔ a n s ( n)
Stała a może być dowolną liczbą zespoloną, tzn. a ∈ C
Jeżeli obszar zbieżności z-transformaty…
... zobacz całą notatkę