To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŜenia granicznego dla układu prętowego
metodą kinematyczną i statyczną
Analizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŜenie graniczne dla
zadanych wartości przekrojów prętów A [m2] i napręŜeń plastycznych σpl [N/m2].
l
2l
4l
A, σpl
2l
P
2A, σpl
Rozwiązanie
• Rozwiązanie metodą kinematyczną
Otrzymany po uwolnieniu od więzów układ sił przedstawia poniŜszy rysunek
P
S1
S2
S3
HA
MoŜemy obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności układu
n = 4 (niewiadome) – 3 (równania równowagi) = 1.
Układ ten przejdzie w mechanizm po uplastycznieniu n+1= 2 prętów podpierających belkę.
MoŜliwe są następujące przypadki układów zmiennych geometrycznie, w których siły
w prętach uplastycznionych odpowiadają ich nośności i wynoszą
S1pl = Aσpl , S2pl = Aσpl , S3pl = 2Aσpl.
Przyjęto, Ŝe napręŜenia plastyczne przy rozciąganiu i ściskaniu są takie same.
I mechanizm zniszczenia – uplastyczniają się pręty nr 1 i 2
K1 - środek obrotu
I
PIgr
P gr
φ7l
φ6l
S1pl
S2pl
φ4l
φ
Na rysunku powyŜej przedstawiony jest moŜliwy wirtualny obrót belki wywołany siłą P
i wynikające z niego przemieszczenia punktów zaczepienia sił. Siły w prętach
uplastycznionych mają zwroty przeciwne do kierunku przemieszczeń punktów ich
zaczepienia.
Zasada pracy wirtualnej dla tego przypadku przyjmuje postać
PIgr φ7l – S1pl φ6l – S2pl φ4l = 0
co po uwzględnieniu wartości sił plastycznych dla poszczególnych prętów daje
φl(7PIgr – 6Aσpl – 4 Aσpl ) = 0.
Rozwiązanie tego równania (przy załoŜeniu, Ŝe φ ≠ 0 równoznacznym z powstaniem
mechanizmu) prowadzi do warunku
PIgr = 10/7 Aσpl =1.43 Aσpl.
Jeśli jednocześnie spełniony jest napręŜeniowy warunek plastyczności σ3 ≤ σ3pl, to oznacza,
Ŝe obciąŜenie graniczne dla tego schematu stanowi poszukiwaną wartość graniczną i jest to
schemat zniszczenia układu.
Z warunku równowagi moŜemy obliczyć wartość siły S3, a następnie wartość napręŜeń w
trzecim pręcie, a zatem moŜemy sprawdzić czy załoŜonemu schematowi zniszczenia
odpowiada statycznie dopuszczalny stan napręŜenia spełniający napręŜeniowy warunek
plastyczności.
PIgr
y
S3
S2pl
S1pl
Z warunku sumy rzutów sił na oś pionową dostajemy równanie:
S1pl +S2pl + S3 - PIgr = 0 .
Stąd po podstawieniu obliczonej wartości obciąŜenia mamy
S3 = -4/7 Aσpl .
Zatem napręŜenia w tym pręcie są ściskające i ich moduł wynosi
S
2
σ 3 = 3 = σ pl ≤ σ pl
2A 7
czyli warunek plastyczności jest spełniony. Wnioskujemy, Ŝe załoŜony schemat zniszczenia
układu jest prawidłowy, a wartość obciąŜenia granicznego wynosi
10
Aσ pl
7
Dla porównania rozpatrzmy jeszcze inne schematy zniszczenia.
I
Pgr =
II mechanizm zniszczenia – uplastyczniają się pręty nr 1 i 3
K2 - środek obrotu
P
II
gr
φ3l
PIIgr
S1pl
φ4l
φ2l
S3pl
φ
Przy uplastycznieniu prętów 1 i 3 moŜliwy jest przedstawiony powyŜej obrót belki względem
chwilowego środka obrotu K2. Pręt nr 3 zostaje ściśnięty, a zatem wyczerpanie jego nośności
nastąpiło ze względu na siłę ściskającą.
Zasada pracy wirtualnej dla tego przypadku
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)