Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego)
Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego), jeśli przyjmuje ona tylko skończoną (lub przeliczalną) liczbę wartości {x1, x2, x3,..., xn} (tzw. punkty skokowe), tak, że dla każdego i=1,2,...,n.) (i=1,2,....)
P(X= xi)= pi0,
gdzie ( ).
Oznacza to, że zmienna losowa X przyjmuje wartość z prawdopodobieństwem .
Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (funkcją prawdopodobieństwa, rozkładem prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X nazywamy funkcję p określoną wzorem
p(xi)=P(X= xi)i.
Funkcję prawdopodobieństwa P określoną na wartości xi oznaczamy przez pi, czyli pi=p(xi).
Innym sposobem określania funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest metoda tabelkowa:
Dystrybuantą zmiennej losowej skokowej X jest funkcja F określona wzorem
,
gdzie sumowanie odbywa się po tych , które spełniają nierówności .
UWAGA!!!
Mając dany rozkład prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć jej dystrybuantę i odwrotnie, mając daną dystrybuantę zmiennej losowej X możemy podać rozkład prawdopodobieństwa.
Przykład (1) W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana 10, na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia 1, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2(wygrywamy - 2). Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo prawdopodobne. Doświadczenie polega na wyciągnięciu jednego losu.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω={1,2,...,10} i jest skończona. Określmy funkcję X będzie zmienną losową skokową oznaczającą wygraną. gdzie A={-2,1,10}. Zauważmy, że
X(1)=10, X(2)=X(3)=1, X(4)=X(5)=...=X(10)=-2.
Określmy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
P(X=10)=p1= P(X=1)= p2+ p3= P(X=-2)= p4+ p5+ p6+ p7+ p8+ p9+ p10= Zapis tabelkowy wartość zmiennej losowejł
-2
1
10
prawdopodobieństwo
0,7
0,2
0,1
Wyznaczmy dystrybuantę zmiennej losowej
Dla x≤-2 F(x)=P(X10 F(x)= =p1+ p2+ p3=0,7+0,2+0,1=1
Tak więc (2) Niech zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa
0
1
3
(…)
…
Jest to szczególny przypadek zmiennej losowej o rozkładzie równomiernym
Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami
, .
3. Rozkład zero-jedynkowy
Zmienna losowa X ma rozkład skokowy zero-jedynkowy, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci
0
1
q
p
gdzie .
Wówczas wartość oczekiwana i wariancja wyrażają się wzorami
, .
4. Rozkład Bernoulliego (rozkład dwumianowy)
Schemat Bernoulliego…
… prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul zielonych.
Losowanie odbywa się ze zwrotem, więc mamy do czynienia z doświadczeniami niezależnymi. Łatwo ustalamy, że , i prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu (wylosowania kuli zielonej) obliczymy stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite , więc . Stosujemy wzór Bernoulliego . Zmienna losowa X ma rozkład skokowy Bernoulliego (rozkład dwumianowy) z parametrami…
… Bernoulliego obliczmy prawdopodobieństwa poszczególnej liczby sukcesów (trafionych rzutów) w pięciu próbach
,
,
,
,
.
Rozkład prawdopodobieństwa szukanej zmiennej losowej wygląda następująco
0
1
2
3
4
Możemy teraz także obliczyć wartość oczekiwaną
zatem koszykarz średnio odda 3,2 (3 w zaokrągleniu do liczby całkowitej) rzuty celne do kosza. Obliczenie wariancji, pozostawiamy czytelnikowi .
4.Rozkład Poissona.
Zmienna losowa X ma rozkład skokowy Poissona z parametrem , jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci
,
gdzie . Parametr λ ma interpretację wartości oczekiwanej i jest on równy prawdopodobieństwu p uzyskania sukcesu w pojedynczej próbie pomnożony przez ilość tych prób n, natomiast k oznacza liczbę sukcesów w n próbach.
Rozkład Poissona wiąże się z rozkładem Bernoulliego zależnością:
Dla dużych n…
… -5
-1
0
3
0,2
0,1
0,45
0,25
Policzmy wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej:
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X wynosi -0,35.
Czasem dwie różne zmienne losowe mogą mieć takie same wartości oczekiwane, np. dla zmiennych losowych X i Y o rozkładach prawdopodobieństwa
2
6
-21
3
30
W obu przypadkach wartości oczekiwane wynoszą 4 (EX=4, EY=4,), jednak zmienna losowa X ma znacznie mniejszy rozrzut…
….
Inaczej .
Czasem wariancję zmiennej losowej X oznacza się przez . Wariancja jest to więc miara rozrzutu zmiennej losowej X.
Uwaga
Własności wariancji:
1. 2. 3. 4. 5. Odchyleniem standardowym (odchyleniem średnim) zmiennej losowej skokowej X nazywamy liczbę ( ).
Przykład (1) Policzmy wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X o rozkładzie prawdopodobieństwa
-5
-1
0
3
0,2
0,1
0,45
0,25…
….
Zad. 14. Zmienna losowa Z przyjmuje wartości 0,1,2. Wiemy, że EX=1 oraz E2X=1,5. Wyznacz rozkład zmiennej losowej X
Zad. 15 Siła kiełkowania na partii pewnych ziaren została oceniona na 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo , że spośród 5 ziaren wykiełkuje:
dokładnie 4 ziarna
mniej niż 4 ziarna
Zad. 16 Oblicz prawdopodobieństwo, że na 7 rzutów kostką do gry co najwyżej 2 razy wypadnie liczba oczek…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)