3. UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
3.1 POJĘCIA WSTĘPNE
Def. 3.1.1 (układ równań różniczkowych)
Układem równań różniczkowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci
y1 ' f1 (t , y1 , y 2 , , y n )
y ' f (t , y , y , , y )
2
2
1
2
n
.
y n ' f n (t , y1 , y 2 , , y n )
(U)
Uwaga. Jeżeli n = 2, to będziemy pisali x, y zamiast y1, y2 oraz f, g w miejsce f1, f2. Podobnie, jeżeli n = 3, to będziemy pisali x,
y, z zamiast y1, y2, y3 oraz f, g, h w miejsce f1, f2, f3.
Def. 3.1.2 (rozwiązanie układu równań)
Ciąg funkcji (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) określonych i różniczkowalnych na przedziale (a,b) nazywamy rozwiązaniem układu równań
(U) na tym przedziale, jeżeli zamienia on wszystkie równania tego układu w tożsamości
y1 ' (t ) f1 (t , y1 (t ), y 2 (t ),, y n (t ))
y ' (t ) f (t , y (t ), y (t ),, y (t ))
2
2
1
2
n
y n ' (t ) f n (t , y1 (t ), y 2 (t ),, y n (t ))
na przedziale (a,b).
Uwaga. W notacji wektorowej układ równań różniczkowych (U) można zapisać w postaci
y' f (t , y) ,
gdzie
y1 '
y1
f1 (t , y1 , y 2 ,, y n )
y '
y
2 2
f 2 (t , y1 , y 2 ,, y n )
y'
, y
, f (t , y )
.
y n '
f n (t , y1 , y 2 , , y n )
yn
Wtedy rozwiązanie układu równań (U) jest funkcją wektorową
y1 (t )
y (t )
y (t ) 2 .
y n (t )
Def. 3.1.3 (zagadnienie początkowe dla układu równań)
Układ równań różniczkowych (U) oraz układ warunków
(W)
0
0
y1 (t 0 ) y10 , y 2 (t 0 ) y 2 , , y n (t 0 ) y n ,
nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.
Uwaga. Liczby
0
0
t 0 i y10 , y 2 ,, y n nazywamy wartościami początkowymi, a warunek (W) nazywamy warunkiem
początkowym. Używając notacji wektorowej zagadnienie początkowe można zapisać w postaci
(UW)
y' f (t , y),
y(t 0 ) y0 .
Def. 3.1.4 (rozwiązanie zagadnienia początkowego)
Ciąg funkcji (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (UW), jeżeli jest rozwiązaniem układu równań
(U) na pewnym przedziale zawierającym punkt t0 i spełnia warunki (W).
Tw. 3.1.5 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań układu (U))
Niech funkcje fi(t,y1,y2,...,yn), gdzie 1 i n, wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi
f i
t , y1 , y 2 , , y n , gdzie 1 i, j
y j
0
0
n, będą określone i ciągłe na obszarze D Rn+1. Wtedy dla dowolnego punktu t 0 , y10 , y 2 , , y n D zagadnienie początkowe
(UW) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na pewnym otoczeniu punktu t0.
Def. 3.1.6 (rozwiązania ogólne i szczególne układu równań)
Rodzinę funkcji wektorowych
y1 (t , C1 , C 2 , , C n )
y (t , C , C , , C )
1
2
n
y (t , C1 , C 2 , , C n ) 2
,
y n (t , C1 , C 2 , , C n )
zależnych od parametrów rzeczywistych C1, C2, ..., Cn nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu równań (U) jeżeli:
1. każda funkcja wektorowa z tej rodziny jest rozwiązaniem układu,
2. dla
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)