Wykład - układy równań różniczkowych

Nasza ocena:

3
Pobrań: 49
Wyświetleń: 651
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wykład - układy równań różniczkowych - strona 1 Wykład - układy równań różniczkowych - strona 2 Wykład - układy równań różniczkowych - strona 3

Fragment notatki:

3. UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
3.1 POJĘCIA WSTĘPNE
Def. 3.1.1 (układ równań różniczkowych)
Układem równań różniczkowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci
 y1 '  f1 (t , y1 , y 2 , , y n )
 y '  f (t , y , y , , y )
 2
2
1
2
n
.


 y n '  f n (t , y1 , y 2 , , y n )

(U)
Uwaga. Jeżeli n = 2, to będziemy pisali x, y zamiast y1, y2 oraz f, g w miejsce f1, f2. Podobnie, jeżeli n = 3, to będziemy pisali x,
y, z zamiast y1, y2, y3 oraz f, g, h w miejsce f1, f2, f3.
Def. 3.1.2 (rozwiązanie układu równań)
Ciąg funkcji (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) określonych i różniczkowalnych na przedziale (a,b) nazywamy rozwiązaniem układu równań
(U) na tym przedziale, jeżeli zamienia on wszystkie równania tego układu w tożsamości
 y1 ' (t )  f1 (t , y1 (t ), y 2 (t ),, y n (t ))
 y ' (t )  f (t , y (t ), y (t ),, y (t ))
 2
2
1
2
n


 y n ' (t )  f n (t , y1 (t ), y 2 (t ),, y n (t ))

na przedziale (a,b).
Uwaga. W notacji wektorowej układ równań różniczkowych (U) można zapisać w postaci
  
y'  f (t , y) ,
gdzie
 y1 ' 
 y1 
 f1 (t , y1 , y 2 ,, y n ) 
 y '


y  
  2    2
  f 2 (t , y1 , y 2 ,, y n )
y' 
, y
, f (t , y ) 
.
  




 


 
 y n '
 f n (t , y1 , y 2 , , y n )
 yn 
Wtedy rozwiązanie układu równań (U) jest funkcją wektorową
 y1 (t ) 
 y (t ) 

y (t )   2  .
  


 y n (t )
Def. 3.1.3 (zagadnienie początkowe dla układu równań)
Układ równań różniczkowych (U) oraz układ warunków
(W)
0
0
y1 (t 0 )  y10 , y 2 (t 0 )  y 2 , , y n (t 0 )  y n ,
nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.
Uwaga. Liczby
0
0
t 0 i y10 , y 2 ,, y n nazywamy wartościami początkowymi, a warunek (W) nazywamy warunkiem
początkowym. Używając notacji wektorowej zagadnienie początkowe można zapisać w postaci
(UW)
  
y'  f (t , y),


y(t 0 )  y0 .
Def. 3.1.4 (rozwiązanie zagadnienia początkowego)
Ciąg funkcji (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (UW), jeżeli jest rozwiązaniem układu równań
(U) na pewnym przedziale zawierającym punkt t0 i spełnia warunki (W).
Tw. 3.1.5 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań układu (U))
Niech funkcje fi(t,y1,y2,...,yn), gdzie 1  i  n, wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi

f i
t , y1 , y 2 ,  , y n  , gdzie 1  i, j 
y j

0
0
n, będą określone i ciągłe na obszarze D  Rn+1. Wtedy dla dowolnego punktu t 0 , y10 , y 2 , , y n  D zagadnienie początkowe
(UW) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na pewnym otoczeniu punktu t0.
Def. 3.1.6 (rozwiązania ogólne i szczególne układu równań)
Rodzinę funkcji wektorowych
 y1 (t , C1 , C 2 ,  , C n ) 
 y (t , C , C ,  , C )

1
2
n 
y (t , C1 , C 2 ,  , C n )   2
,





 y n (t , C1 , C 2 ,  , C n )
zależnych od parametrów rzeczywistych C1, C2, ..., Cn nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu równań (U) jeżeli:
1. każda funkcja wektorowa z tej rodziny jest rozwiązaniem układu,

2. dla ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz