Podobieństwo sygnałów – korelacja
Iloczyn skalarny wektorów/sygnałów
L 2 ℝ
W przestrzeni
〈 x , y 〉=∫ x t y t dt
W przestrzeni ℝ N
〈 x , y 〉=
1
N
N −1
∑ x n y n
n=0
Jeżeli 〈 x , y 〉=0
to
x⊥ y
a co jeżeli 〈 x , y 〉≠0 lub inaczej ∣〈 x , y 〉∣0 ?
Korelacja
Korelacja w przestrzeni L 2 ℝ w przypadku stacjonarnym
R=∫ x t x t− dt
po dyskretyzacji w przestrzeni ℝ N
1
Rl =lim
n∞ N
N −1
∑ x n x n−l
n=0
Korelacja w przestrzeni ℝ N
Z teorii procesów stochastycznych
R x k , m=
1
E[ x k − x m−]
2
gdzie E [.] oznacza operator wartości oczekiwanej (w dużym uproszczeniu jest to wartość
średnia)
wartość średnia procesu losowego
wariancja procesu losowego
Konsekwentnie
R xy k , m=
1
E [ x k −x y m− y ]
x y
Zwykle zakładamy że:
●
=0
●
=1
●
proces losowy (sygnał) jest stacjonarny wtedy
x n , x n−l lub
x n , y n−l
-1-
Użyteczne definicje
R x l= E [x n x n−l] - autokorelacja
R xy l =E [ x n y n−l] - korelacja wzajemna (kroskorelacja)
W praktyce można różnie liczyć estymator wartości oczekiwanej
R x l=
1
N
R x l=
1
N −l
∑ x n x n−l
n
- estymator obciążony
N −l −1
∑
x n x n−l - estymator nieobciążony
n=0
Wyjaśnić pojęcia:
●
współczynnik korelacji
●
unormowany współczynnik korelacji ( 1/ 2 )
x
●
funkcja korelacji
●
unormowana funkcja korelacji
●
miara podobieństwa sygnałów (dla l=0 otrzymujemy iloczyn skalarny !!!)
Przykład:
N=1000;n=(0:N-1);x=sin(2*pi*5/N*n+.3*pi)+randn(1,N);plot(n,x);
s1=sin(2*pi*5/N*n);s2=sin(2*pi*4/N*n);s3=sin(2*pi*13/N*n);s4=sin(2*pi*10/N*n)
;s5=sin(2*pi*4.8/N*n);
max(abs(xcorr(x,s1)))
max(abs(xcorr(x,s2)))
max(abs(xcorr(x,s3)))
max(abs(xcorr(x,s4)))
max(abs(xcorr(x,s5)))
Własności funkcji autokorelacji
1.
R x l= Rx −l
2.
R x 0≥R x l
funkcja parzysta
wartość maksymalna dla zerowego przesunięcia
-2-
Transformacje czasowo-częstotliwościowe
Krótkoterminowa transformata Fouriera (ang. STFT)
N −1
−j
STFT {x n}≡ X k , l = ∑ x n w n−l e
2
kn
N
n =0
gdzie l – dyskretny czas, k – dyskretna częstotliwość
spektrogram to:
2
S k , l=∣X k , l∣
Przykład:
N=64;n=(0:N-1);
x=1.2*sin(2*pi*.13*n);y=2*sin(2*pi*.07*n);z=.8*sin(2*pi*.27*n);s=[x,y,z];
s=s+.1*randn(size(s));plot(s);
S=fft(s); M=size(S,2); f=(0:M-1)./M; plot(f,abs(S));
w=gausswin(N,3)';plot(w);
okno1=[w,zeros(1,N),zeros(1,N)];
okno2=[zeros(1,N),w,zeros(1,N)];
okno3=[zeros(1,N),zeros(1,N),w];
plot(okno1);hold on;plot(okno2);plot(okno3);hold off;
plot(s.*okno1);hold on;plot(s.*okno2);plot(s.*okno3);hold off;
S1=fft(s.*okno1); S2=fft(s.*okno2); S3=fft(s.*okno3);
M=size(S1,2); f=(0:M-1)./M;
plot(f,abs(S1),f,abs(S2),f,abs(S3));
N=256;n=(0:N-1);
x=sin(2*pi*.13*n);y=sin(2*pi*.07*n);z=sin(2*pi*.27*n);s=[x,y,z];
s=s+.7*randn(size(s));plot(s);
M=128; w=gausswin(M,3)'; plot(w);
tmp=[zeros(1,M/2),s,zeros(1,M/2)];plot(tmp);
L=3*N;S=zeros(L,M);
for l=(1:L), v=tmp(l:l+M-1).*w;V = fft(v);S(l,:)=abs(V).^2;end;
(…)
…:N-1);f=linspace(.1,.3,N);x=sin(2*pi*f.*n);
M=128;[TFR,nt,nf]=tfrwv(x',n,M);imagesc(nt,nf,TFR);
-3-
M=128;[TFR,nt,nf]=tfrwv(hilbert(x'),n,M);imagesc(nt,nf,TFR);
Dyskretna transformata falkowa (ang. wavelet)
Wavelet/Falka – (mała fala) sygnał okresowy szybko zanikający do zera
Falka ciągła:
a , b t =
1
t−b
a
a
gdzie
t ∈ L 2 ℝ ,
a , b∈ℝ ,
a0
t prototyp falki, falka matka
–
b przesunięcie w czasie
–
a skalowanie w częstotliwości
Stąd nazwa transformacja „częstotliwość-skala” (skalogram)
Transformata falkowa to iloczyn skalarny badanego sygnału
z prototypami falek
Reprezentacja w przestrzeni L 2 ℝ
W a ,b = 〈 x t , a , b t 〉 =∫ x t a ,b t dt=
1
t −b
∫ℝ x t a dt
a
przesunięcie w czasie:
y t= x t−u ,
W y a ,b=W x a ,b−u
przesunięcie…
…:
–
położenie i rozciągłość w czasie
=∫ℝ t∣ a ,b t ∣dt
t
2
2
t =∫ℝ t− ∣ a , b t∣dt
t
–
położenie i rozciągłość w częstotliwości
=∫ℝ ∣ a ,b ∣d
2
2
=∫ℝ − ∣ a ,b ∣d
(rysunek z t i )
Zasada nieoznaczoności Heisenberga:
t ≥
1
2
Przypadek dyskretny
Dwa rozwiązania:
1) nowe współrzędne skali
a k , l a k b
gdzie l , k ∈ℤ
k , l n=a−k / 2
n−l b
am
2) współrzędne…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)