Wykład - Ekonomia matematyczna

Ekonomia matematyczna prof. UE dr ha. Henryk Zawadzki
Wykład 4
Tw
Jeżeli funkcja użyteczności u: Rn+R jest wklęsła (silnie wklęsła)w zbiorze Rn+ to relacja preferencji wyznaczona przez tą funkcję jest wypukła (silnie wypukła) Gdy f użyteczności jest silnie wklęsła to zbiór:
I Są silnie wypukłe dla każdego koszyka x.
Przykłady funkcji użyteczności
Funkcja multiplikatywna (Cobba-Douglasa)
Gdzie 00 (i=1,...n)a0
Funkcja addytywna
Ai0 xi0 (i=1,2,...n)
Funkcja logarytmiczna
Ai0 xi0 (i=1,2..n)
Funkcja liniowa
(ai0)
Funkcja Leontiefa-Koopmansa
(ai0)
Preferencje typu Cobba-Douglasa
Charakterystyki użyteczności:
-Rachunek marginalny-
krańcowa użyteczność, krańcowa stopa substytucji, elastyczność substytucji towarów.
Zakładamy że funkcja użyteczności jest różniczkowalna, silnie wklęsła lub wklęsła, rosnąca.
Dowolny ustalony stopień towarów
Def1
Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku x nazywamy pochodną cząstkową funkcji użyteczności względem zmiennej xi czyli:
(i=1,...n)
Jeżeli u jest rosnąca to krańcowa użyteczność każdego towaru jest rosnąca- oznacza to, że zwiększenie ilości jednego towaru w koszyku przy niezmienionych innych zwiększa użyteczność koszyka.
Jeśli jest podwójnie różniczkowalna i silnie wklęsła to:
Tzn. krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę wzrostu jego spożycia. Zasady malejącej krańcowej użyteczności (prawo Gossena)
Def2
Krańcową stopą substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w koszyku x, nazywamy wyrażenie
(ij)
Mówi o ile (w przybliżeniu) powinna zmniejszyć się ilość j-tego towaru , przy zwiększeniu ilości i-tego towaru o jednostkę aby użyteczność koszyka x pozostała bez zmian.
Def3
Elastycznością substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w koszyku x, nazywamy wyrażenie:
(ij)
Pokazuje o ile procent (w przybliżeniu) powinna zmniejszyć się ilość j-tego towaru przy zwiększeniu ilości i-tego towaru o 1% żeby użyteczność koszyka nie zmieniła się.

(…)

… dokładnie jeden koszyk optymalny w zbiorze D(p, I)
Funkcja popytu konsumenta Maksymalizacja funkcji konsumpcji
Problem
Wyznaczyć maksimum funkcji użyteczności
U(x)max (1)
Przy ograniczeniach <p,x> 1 (2)
x≥0 (3)
Jeżeli u spełnia : jest silnie wklęsła, podwójnie różniczkowalna i .........to funkcja popytu
Przy przyjętych założeniach funkcja popytu konsumenta jest funkcją ciągłą. Dla każdego p>0 i I>0…
... zobacz całą notatkę