Wyboczenie układu belka-słup

Nasza ocena:

5
Pobrań: 56
Wyświetleń: 693
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wyboczenie układu belka-słup - strona 1 Wyboczenie układu belka-słup - strona 2 Wyboczenie układu belka-słup - strona 3

Fragment notatki:

Przykład 9.3. Wyboczenie układu belka-słup
Wyznaczyć wartość krytyczną siły
P obciążającej głowicę słupa. Słup
jest częścią układu ramowego,
którego drugim elementem jest
belka pozioma. Węzeł słup-belka
jest sztywny. Oznacza to, że obrót
przekroju
belki
położonego
nieskończenie blisko węzła jest
równy obrotowi przekroju słupa
sąsiadującego z tym węzłem.
Fundament pod węzłem jest
niepodatny, podpora B belki jest
niepodatna, przesuwna. Przyjąć
wysokość słupa H, długość belki L.
Moduły bezwładności przekrojów
słupa i belki wynoszą odpowiednio
Js i Jb zaś moduły Younga
materiałów - Es i Eb. W
płaszczyźnie
prostopadłej
do
rysunku słup i belka są usztywnione
ścianą i stropem.
P
C
Es, Js
H
Eb, Jb
A
B
L
Rysunek 1. Schematy statyczne układu belkasłup.
1. Kinematycznie dopuszczalna (zgodna z więzami) postać odkształcona analizowanej
struktury:
f
Pkr
f
C
C
Pkr
f-y(x)
Część α
yα(x)

A


HA
VA

B
VB
A
T(x)
M(x)
N(x)
Część β

M(x)
yβ(x)
VA=Pkr(1-f/L)
B
VB=Pkrf/L

Rysunek 2. Postać przyjętej deformacji zgodnej z więzami (cześć lewa); Ilustracja zapisu
równowagi fragmentu α osi ugiętej słupa oraz fragmentu β (osi ugiętej belki) (część prawa);
2. Równania równowagi dla dowolnego, odkształconego fragmentu struktury:
Reakcje obliczymy biorąc pod uwagę sumę momentów względem punktu A dla odkształconej
ramy wyobrażonej na Rys. 2:
VBL=Pkrf
=
VB=Pkrf/L
Reakcja w podporze A nie będzie potrzebna w dalszych obliczeniach. Z sumy rzutów na oś
poziomą zauważamy, że jej składowa pozioma jest równa zeru zaś z sumy rzutów sił na oś
pionową wynika wartość VA podana na Rys. 2.
Wobec tego, że w ramie wyróżnia się dwa jakościowo różne fragmenty, w których równania
momentów zginających jako funkcji x są różne, należy rozpatrzyć dwa przypadki w zapisie
warunków równowagi. Pierwszy z tych fragmentów to słup, drugi to belka. Zauważmy, że
siła osiowa występuje tylko w słupie. Belka poddana jest tylko zginaniu, zależnemu jednak od
siły krytycznej.
2.a.
Dla części α (słup):
M ( x) + Pkr ( f − yα ( x)) = 0 = M ( x) = Pkr ( yα ( x) − f )

ponieważ: M ( x) = − yα′ ( x)Es J s otrzymuje się równanie różniczkowe dla osi ugiętej:


= yα′ ( x)Es J s = Pkr ( f − yα ( x)) = yα′ ( x)Es J s + Pkr yα ( x) = Pkr f =

yα′ ( x) + k 2 yα ( x) = k 2 f
oznaczono tu (jak zwykle w zagadnieniach wyboczenia)
k2 =
(1)
Pkr
Es J s
(2)
Rozwiązanie równania (1) jest postaci:
yα ( x) = A cos(kx)+ B sin(kx)+ yszcz (x)
ponieważ yszcz (x )= f wiec ostatecznie:
yα ( x) = A cos(kx)+ B sin(kx)+ f
2.b.
(3)
Dla części β (belka):
Moment zapisać można (dla części prawej belki – patrz rysunek 2.) następująco:
M ( x) = Pkr
= Eb J b y′′ ( x) = −Pkr
β
f
(L − x)
L
f
(L − x) = y′β′ ( x) = Pkr f x − Pkr f
L
Eb J b L
Eb J b
(4)
=
Otrzymane równanie różniczkowe zawiera tylko druga pochodną linii ugięcia wobec tego
rozwiązuje się je przez bezpośrednie całkowanie:
yβ ( x) =
2
Pkr f x3 Pkr

f x + Cx + D
Eb J b L 6 Eb J b 2
(5)
Zauważmy, że całkowanie równania (4)

(…)


Es J s L
= ctg kH
3Eb J b
(12)
z
Es J s L
= ctg ( z)
3Eb J b H
(13)
podstawiając: kH=z otrzymujemy:
3
Rozwiązanie można odczytać z wykresu pokazanego na rysunku (punkt przecięcia prostej i
cotangensoidy):
tgγ =
γ
Es J s L
3Eb J b H
Π/2
z
z0
Rysunek 3. Graficzny sposób wyznaczenia miejsca zerowego wyznacznika głównego układu
równań (10). Rysunek ten pozwala również zrozumieć jak zmienia…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz