To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
20 stycznia 2003, 9:19am Metody numeryczne II, 2003/2003 1 Wstęp do rozwiązywania równań różniczkowych metodą „elementu skończonego” Wykład: 13.I.03r W odróżnieniu od metody „różnicowej”, gdzie podstawą było zastąpienie (dla ustalonego 0
(…)
… w postaci:
u(t) = u0 + ξ1 t + ξ2 t2 + . . . + ξq tq
(1.2)
gdzie stałe ξ1 , ξ2 , . . . , ξq ∈ R należy wyznaczyć.
Niech
def
R(v)(t) = v (t) − λv(t) — opisuje błąd residualny (resztowy).
(1.3)
Tak więc, gdy R(v) ≡ 0 na odcinku (0, 1] to funkcja v = v(t) jest rozwiązaniem
(1.1).
Definicja Aproksymacja (przybliżone rozwiązanie) Galerkina zagadnienia (1.1)
jest to wielomian u ∈ V (q) spełniający:
1 Za
[1, ss. 104–128]
1.ElSko-01
2
20 stycznia 2003, 9:19am
Metody numeryczne II, 2003/2003
• u(0) = u0 ,
(q)
1
0
w L2 [0, 1] tzn., że ∀v∈V (q)
• R(u) ⊥ V0
0
R(u)(t) v(t) dt = 0.
Oczywiście, jeżeli u = u(t) jest rozwiązaniem (1.1) to na podstawie (1.3) zachodzi
1
(q)
(u (t) − λu(t)) v(t) dt = 0 dla v ∈ V0
0
=0
tak więc jest ono też aproksymacją Galerkina równania.
(q)
Warunek ortogonalności R(u) ⊥ V0
w L2 [0, 1…
…)
ϕi (x) = (−1)
i!
dxi
W podręcznikach wielomiany Legendre’a rozważa się też na przedziale [−1, 1].
I tak w [6, zad. 19 na s. 142] oraz [4, Ex. 9.22 na s. 205] są one wykorzystane do kwadratur Gaussa (numerycznego całkowania). W [3, Ex. 2 na s. 429]
1.ElSko-01
3
20 stycznia 2003, 9:19am
Metody numeryczne II, 2003/2003
zastosowano wielomiany Legendre’a w aproksymacjach (przybliżeniach) wielomianowych…
… rozwiązanie będziemy szukać w postaci:
u(t) = u0 + ξ1 t + ξ2 t2 + . . . + ξq tq (1.2)
gdzie stałe ξ1 , ξ2 , . . . , ξq ∈ R należy wyznaczyć.
Niech
def
R(v)(t) = v (t) − λv(t) — opisuje błąd residualny (resztowy). (1.3)
Tak więc, gdy R(v) ≡ 0 na odcinku (0, 1] to funkcja v = v(t) jest rozwiązaniem
(1.1).
Definicja Aproksymacja (przybliżone rozwiązanie) Galerkina zagadnienia (1.1)
jest to wielomian u ∈ V (q…
…),
(1.11)
u(0) = u(1) = 0.
Teraz przybliżone rozwiązanie (1.11) będziemy szukali wśród funkcji sklejanych
postaci (1.10).
2 Za
[1, ss. 104–128]
1.ElSko-01
4
20 stycznia 2003, 9:19am
Metody numeryczne II, 2003/2003
Niech Th : 0 = x0 < x1 < . . . < xM +1 = 1 będzie podziałem (triangulacją)
odcinka (0, 1) na pododcinki Ij = (xj−1 , xj ) długości hj = xj − xj−1 i niech
(1)
Vh = Vh – będzie przestrzenią…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)