To tylko jedna z 57 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 WSTĘP DO FIZYKI CIAŁA STAŁEGO Statystyki kwantowe 1. Rozkład Fermiego-Diraca (F-D) Założenia: - cząstki są nierozróżnialne - cząstki nie oddziaływują ze sobą - spełniony jest zakaz Pauliego: w jednym stanie energetycznym opisanym przez zespół liczb kwantowych może znajdować się jedna cząstka (dwie ze względu na spinową liczbę kwantową s 1 m 2 =± Rozważamy: i – liczba poziomów (przedziałów energii), i n – liczba cząstek na i-tym poziomie, i g – liczba dostępnych stanów, i E – energia i-tego stanu, N – całkowita liczba cząstek, E - całkowita energia układu N cząstek w danej temperaturze T Celem opisu statystycznego jest znalezienie odpowiedzi na pytanie, jaki jest rozkład N cząstek między różnymi poziomami i E , żeby całkowita energia ε była stała, czyli gdy spełnione są warunki: 2 ∑ = = i i const n N (1.1) const E n E i i i = = ∑ (1.2) Wyrażenie: ) exp( 1 1 T k E g n B i i i µ − + = (1.3) określa prawdopodobieństwo obsadzenia i E poziomu w temperaturze T . Dla dużych wartości energii i E →∞ , rozkład ten przechodzi w klasyczny rozkład Boltzmannna: ) exp( T k E g n B i i i − = (1.4) Funkcja rozkładu opisana związkiem (1.3) jest to funkcja rozkładu Fermiego – Diraca: ) exp( 1 1 ) ( T k E E g n E f B F i i i i − + = = (1.5) gdzie f E jest to energia Fermiego. Określimy funkcje gęstości stanów i ρ , określa ona liczbę stanów w jednostkowym przedziale energii: 3 i i i E g ∆ = ρ (1.6) i i i i i i i E E f g f n ∆ = = ρ ) ( (1.7) Zgodnie z zapisem we wzorze (1.1), przy wykorzystaniu równania (1.7) otrzymujemy: ∫ ∞ + ∞ − = dE E E f N ) ( ) ( ρ (1.8) Zgodnie z zapisem we wzorze (1.2), przy wykorzystaniu równania (1.7) otrzymujemy: ∫ ∞ + ∞ − = dE E E E f E ) ( ) ( ρ (1.9) Całka w granicach od −∞ do +∞ redukuje się do granic w ramach, których ( ) 0 E ρ . Interpretacja energii Fermiego ;
(…)
…
fizycznego jest związaną z częstotliwością ν fali stowarzyszonej, opisującej jego
ruch, następującą relacją:
E = hν
(1.12)
gdzie h =6,6⋅10−34 J ⋅s jest stałą Plancka.
Pęd tego obiektu związany jest z długością przypisanej mu fali następującą relacją:
p=
h
h
⇒λ =
λ
p
Definiujemy: h =
r
(1.13)
h
, k=
2π
2π ,
λ
gdzie k jest wektorem falowym o kierunku zgodnym z kierunkiem propagacji fali
o długości λ . Wówczas związek (1.13) ma postać:
r
r
p = hk
(1.14)
Wielkości charakterystyczne dla cząstki : energia E , oraz pęd p są związane
poprzez stałą Plancka h z wielkościami charakterystycznymi dla ruchu falowego;
częstotliwość ν , oraz długość fali λ .
Wyrażenie :
6
λ=
h
p
(1.15)
opisuje długość fali de Broglie. czyli długość fali materii stowarzyszonej z
ruchem cząstki o pędzie p .
Przykłady:
a) obiekt makroskopowy…
… znajdujących
się w jednostce objętości.
Uogólnienie hipotezy de Broglie przez Schrodingera dało początek mechanice
kwantowej.
10
Fale de Broglie jest interpretowana przez funkcje falową, która dla przypadku
jednowymiarowego ma postać:
x
ψ ( x, t ) = A sin 2π ( − νt ) = A sin( kx − ωt )
λ
(1.16)
Wyrażenie (1.16) jest analogiczne do wyrażenia na natężenie pole elektrycznego
fali elektromagnetycznej.
E ( x, t…
… dla fal elektromagnetycznych można wyprowadzić z równań Maxwella. Nie
należy oczekiwać, by kwantowe równanie falowe otrzymać z równań mechaniki
klasycznej. Można sadzić, że pomocne będą postulaty de Broglie oraz Einsteina:
λ=
h
p
E = hν ⇒ ν =
E
h
(1.31)
Poszukiwane równanie kwantowe musi spełniać następujące założenia:
1. Równanie musi być zgodne z postulatami de Broglie i Einsteina
2. Równanie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)