Wartości własne - omówienie

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 413
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wartości własne - omówienie  - strona 1

Fragment notatki:

Wartości własne i wektory własne macierzy
V – przestrzeń wektorowa nad ciałem K, F: V → V operator liniowy
Liczba λ ∈ K nazywa się wartością własną operatora F jeśli Ker(F – λIV) ≠ 0
Jeżeli λ jest wartością własną operatora F, to każdy wektor z podprzestrzeni Ker(F - λIV)
wektorem własnym, odpowiadającym wartości własnej λ.
a11 − λ
Jeżeli A jest macierzą F to wartości własne obliczymy, rozwiązując równanie det  M

 an1

nazywa się
a1n 
O
M =0

L ann − λ 

L
Jeśli λ0 jest wartością własną, to odpowiadające jej wektory własne znajdujemy, rozwiązując układ równań:
a1n   v1 
a11 − λ0 L
 M
 M  = 0
O
M

 
 an1
L ann − λ0  vn 

 
1) Znaleźć wartości własne i wektory własne następujących macierzy:
 2 −1 −6
1 0 0
0 1 0 
0 1 0 
1 0 1
b) 
c)  1 0 0 
a) 




 0 0 −1
1 1 0
 0 0 −1






1 0 0 
d)  0 0 −1


0 1 0 


 5 2 −3
 0 1 1
 2 0 −1
 1 0 0
 4 5 −4 
 1 0 1
0 3 0
e) 
f) 
g) 
h)  3 1 2





 6 4 −4 
 1 1 0
−1 0 2 
 0 5 4








2) Czy istnieje baza R3 złożona z wektorów własnych następujących macierzy? Jeśli tak, to znaleźć ją,
utworzyć macierz P, której kolumnami będą wektory znalezionej bazy, znaleźć macierz P-1 i obliczyć
iloczyn P-1AP.
 3 2 −3
 2 3 −3
 1 0 2
 2 3 −3
 0 3 1
a) A = 
b) A = 
c) A =  1 4 −3




 2 2 −2 
 1 5 −4 
 0 0 9






 −4 3 1 
−2 4 −2
 3 2 −2 
 −5 4 1 
 3 2 −2 
d) A =
e) A =
f) A = −4 8 −4






 3 −3 − 2 
−4 8 −4
 4 2 −2 






3) Znaleźć macierz, której wartościami własnymi są λ1, λ2, λ3 , a wektorami własnymi v1, v2, v3.
1
 1
1
1
 2
 0 , v = 1 , v = 1
0 , v = 1 , v =
a) λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, v1 =   2   3  
b) λ1 = λ2 = λ3 = 2, v1 =   2   3
1
 0
0
1
 0

 
 
 
 
1
1
1
1 , v = 0 , v = 1
c) λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2, v1 =   2   3  
1
0
0

 
 
4) Rozwiązać układy równań różniczkowych:


 x1 (t ) = x1 (t ) + 2 x 3 (t )
 x1 (t ) = x1 (t ) + 4 x 2 (t ) + x 3 (t )


a)  x 2 (t ) = 3x 2 (t ) + x 3 (t )
b)  x 2 (t ) = 2 x 2 (t ) + 2 x 3 (t )


 x ′ (t ) = 9 x (t )
 x ′ ( t ) = 3x ( t )
3
3
 3
 3

 x1 (t ) = x1 (t )

c)  x 2 (t ) = 3x1 (t ) + x 2 (t ) + 2 x 3 (t )

 x ′ ( t ) = 5x ( t ) + 4 x ( t )
2
3
 3

 x1 (t ) = 5x1 (t ) + 2 x 2 (t ) − 3x 3 (t )

d)  x 2 (t ) = 4 x1 (t ) + 5x 2 (t ) − 4 x 3 (t )

 x ′ ( t ) = 6 x (t ) + 4 x (t ) − 4 x (t )
1
2
3
 3
 3
1
 
 2
 
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz