Wartości własne i wektory własne macierzy
V – przestrzeń wektorowa nad ciałem K, F: V → V operator liniowy
Liczba λ ∈ K nazywa się wartością własną operatora F jeśli Ker(F – λIV) ≠ 0
Jeżeli λ jest wartością własną operatora F, to każdy wektor z podprzestrzeni Ker(F - λIV)
wektorem własnym, odpowiadającym wartości własnej λ.
a11 − λ
Jeżeli A jest macierzą F to wartości własne obliczymy, rozwiązując równanie det M
an1
nazywa się
a1n
O
M =0
L ann − λ
L
Jeśli λ0 jest wartością własną, to odpowiadające jej wektory własne znajdujemy, rozwiązując układ równań:
a1n v1
a11 − λ0 L
M
M = 0
O
M
an1
L ann − λ0 vn
1) Znaleźć wartości własne i wektory własne następujących macierzy:
2 −1 −6
1 0 0
0 1 0
0 1 0
1 0 1
b)
c) 1 0 0
a)
0 0 −1
1 1 0
0 0 −1
1 0 0
d) 0 0 −1
0 1 0
5 2 −3
0 1 1
2 0 −1
1 0 0
4 5 −4
1 0 1
0 3 0
e)
f)
g)
h) 3 1 2
6 4 −4
1 1 0
−1 0 2
0 5 4
2) Czy istnieje baza R3 złożona z wektorów własnych następujących macierzy? Jeśli tak, to znaleźć ją,
utworzyć macierz P, której kolumnami będą wektory znalezionej bazy, znaleźć macierz P-1 i obliczyć
iloczyn P-1AP.
3 2 −3
2 3 −3
1 0 2
2 3 −3
0 3 1
a) A =
b) A =
c) A = 1 4 −3
2 2 −2
1 5 −4
0 0 9
−4 3 1
−2 4 −2
3 2 −2
−5 4 1
3 2 −2
d) A =
e) A =
f) A = −4 8 −4
3 −3 − 2
−4 8 −4
4 2 −2
3) Znaleźć macierz, której wartościami własnymi są λ1, λ2, λ3 , a wektorami własnymi v1, v2, v3.
1
1
1
1
2
0 , v = 1 , v = 1
0 , v = 1 , v =
a) λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, v1 = 2 3
b) λ1 = λ2 = λ3 = 2, v1 = 2 3
1
0
0
1
0
1
1
1
1 , v = 0 , v = 1
c) λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2, v1 = 2 3
1
0
0
4) Rozwiązać układy równań różniczkowych:
′
′
x1 (t ) = x1 (t ) + 2 x 3 (t )
x1 (t ) = x1 (t ) + 4 x 2 (t ) + x 3 (t )
a) x 2 (t ) = 3x 2 (t ) + x 3 (t )
b) x 2 (t ) = 2 x 2 (t ) + 2 x 3 (t )
′
′
x ′ (t ) = 9 x (t )
x ′ ( t ) = 3x ( t )
3
3
3
3
′
x1 (t ) = x1 (t )
c) x 2 (t ) = 3x1 (t ) + x 2 (t ) + 2 x 3 (t )
′
x ′ ( t ) = 5x ( t ) + 4 x ( t )
2
3
3
′
x1 (t ) = 5x1 (t ) + 2 x 2 (t ) − 3x 3 (t )
d) x 2 (t ) = 4 x1 (t ) + 5x 2 (t ) − 4 x 3 (t )
′
x ′ ( t ) = 6 x (t ) + 4 x (t ) − 4 x (t )
1
2
3
3
3
1
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)