Uzupełnienie - estymator średniej i wariancji

Estymator wariancji  czyli statystyka a intuicja, albo jak wnioskować                     Edward Preweda  AGH KIoT 02’02 Estymator średniej Kąt poziomy x  pomierzono w n seriach, uzyskując wyniki  n x x  ,..., 1 .  Jak obliczyć najbardziej prawdopodobną wartość kąta ?  Obliczyć średnią arytmetyczną. W jaki sposób ? Zsumować wyniki z poszczególnych serii i podzielić przez n (liczbę serii), czyli  ∑ = × = n i i x n x 1 1 . Logiczne ?  Logiczne. Sprawdźmy, jak nasza logika ma się do statystyki. Obliczmy estymator średniej arytmetycznej na podstawie definicji estymatora nieobciążonego: Estymatorem wartości średniej  x   jest funkcja ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ∑ ∑ ∑ = = = × = + + = + + =       =       × = = n i n i n i 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1 1 1 ˆ i n n i i x n x x n x E x E n x E n x n E x E x = x Czyli ma się dobrze. Estymator wariancji Jak obliczyć wariancję ? (proszę nie pytać co to jest, ale zastanowić się :) Może intuicyjnie, czyli poprzez analogię do estymatora wartości średniej Czyli ? Wariancję oblicza się na podstawie rozrzutu względem wartości średniej (czyli na podstawie odchyłek, różnic pomiędzy i-tą wartością a średnią), przy czym sumowanie jest w kwadratach. To znaczy, intuicja (przynajmniej moja) mówi, że trzeba policzyć sumę kwadratów odchyłek i podzielić przez n (liczbę serii).  Czyli intuicyjnie:  ( ) ∑ = − × = n i i 1 2 2 1 x x n S No to sprawdźmy jak to jest w statystyce, czyli obliczmy estymator wariancji.  Wiemy, że estymator jest zmienną losową. Jeżeli policzymy wartość  2 S  dla wielu różnych prób, to otrzymamy różne wartości.  Zgodnie z definicją estymator jest nieobciążony, gdy wartość oczekiwana estymatora jest równa wartości estymowanego parametru  2 σ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ = = = − − − =       − + − =       − = n i i n i i n i i 1 1 1 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 1 x x E x x E n x x x x E n x x E n S E Ponieważ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       =       = = − = = − ∑ ∑ = = n i i n i i i 1 1 x V n x n V x V x x E x V x x E 2 2 2 2 1 1 ˆ ˆ σ Każda zmienna   i x   podlega temu samemu rozkładowi. Jest to rozkład zmiennej losowej   ... zobacz całą notatkę