To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
UOGÓLNIONE ODWROTNOŚCI MACIERZY Uogólniona macierz odwrotna – uogólnienie pojęcia macierzy odwrotnej na macierze prostokątne. Zamiennie używa się pojęć pseudoodwrotności, pseudoinwersji. Pojęcie to opracowali niezależnie od siebie E. H. Moore w 1920 i Roger Penrose w 1955 roku. Wcześniej, w 1903, pomysł pseudoodwrotności operatorów całkowych zaproponował Fredholm. DEFINICJA Niech będzie macierzą na d ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Macierz nazywamy uogólnioną macierzą odwrotną do , jeżeli spełnia ona cztery poniższe warunki: , , , , gdzie oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy. Innym sposobem definiowania uogólnionej odwrotności jest określenie jej jako granicy: . Definicja ta jest poprawna, ponieważ granice te istnieją nawet wówczas, gdy macierze oraz nie istnieją. Dla macierzy nad ciałem liczb rzeczywistych sprzężenie hermitowskie jest równoważne transpozycji macierzy. Macierz jest wyznaczona jednoznacznie i jest wówczas oznaczana zwykle przez . WŁASNOŚCI Własności uogólnionej macierzy odwrotnej są podobne do własności zwykłej macierzy odwrotnej z tym, że każda macierz jest pseudoodwracalna (istnieje macierz do niej pseudoodwrotna): Pseudoodwrotność macierzy jest inwolucją . Zachodzą następujące przemienności (z transpozycją), (ze sprzężeniem trywialnym), (ze sprzężeniem hermitowskim). Dla każdego zachodzi równość . SPRZĘŻENIE HERMITOWSKIE MACIERZY Sprzężenie hermitowskie macierzy – złożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego macierzy zespolonych. Dokładniej, sprzężenie hermitowskie to odwzorowanie dane wzorem . Innymi słowy. . Uogólnieniem pojęcia sprzężenia hermitowskiego macierzy na operatory na przestrzeniach Hilberta jest pojęcie operatora sprzężonego. Macierz hermitowska (samosprzężona) A, to taka macierz kwadratowa, która jest równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu. Macierz: jest samosprzężona, ponieważ: WŁASNOŚCI: Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wartości rzeczywiste. Macierze hermitowskie mają rzeczywiste wartości własne. Istotnie, niech λ będzie wartością własną macierzy A, tj. Ax = λx dla pewnego niezerowego wektora x. Wówczas , co dowodzi, że λ jest liczbą rzeczywistą ponieważ . SPRZĘŻENIE TRYWIALNE MACIERZY
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)