Uogólnione odwrotności macierzy

Nasza ocena:

5
Pobrań: 175
Wyświetleń: 1603
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Uogólnione odwrotności macierzy - strona 1 Uogólnione odwrotności macierzy - strona 2 Uogólnione odwrotności macierzy - strona 3

Fragment notatki:

UOGÓLNIONE ODWROTNOŚCI MACIERZY    Uogólniona  macierz  odwrotna –  uogólnienie  pojęcia  macierzy  odwrotnej  na  macierze  prostokątne.  Zamiennie  używa  się  pojęć pseudoodwrotności, pseudoinwersji.  Pojęcie  to  opracowali  niezależnie  od  siebie  E. H. Moore  w  1920  i  Roger Penrose  w  1955  roku. Wcześniej, w  1903,  pomysł pseudoodwrotności  operatorów całkowych zaproponował  Fredholm.      DEFINICJA  Niech   będzie  macierzą na d ciałem  liczb rzeczywistych  bądź  zespolonych.  Macierz   nazywamy uogólnioną macierzą odwrotną do  , jeżeli spełnia ona cztery poniższe warunki:    ,    ,    ,    ,  gdzie   oznacza  sprzężenie hermitowskie  macierzy.  Innym sposobem definiowania uogólnionej odwrotności jest określenie jej jako  granicy:   .  Definicja ta jest poprawna, ponieważ granice te istnieją nawet wówczas, gdy  macierze   oraz   nie istnieją.  Dla macierzy nad  ciałem  liczb rzeczywistych  sprzężenie hermitowskie jest równoważne  transpozycji  macierzy.  Macierz   jest wyznaczona jednoznacznie i jest wówczas oznaczana zwykle przez  .      WŁASNOŚCI  Własności uogólnionej macierzy odwrotnej są podobne do własności zwykłej macierzy odwrotnej z tym,  że każda macierz jest  pseudoodwracalna (istnieje macierz do niej pseudoodwrotna):    Pseudoodwrotność macierzy jest  inwolucją  .    Zachodzą następujące  przemienności  (z  transpozycją),   (ze  sprzężeniem trywialnym),   (ze  sprzężeniem hermitowskim).     Dla każdego   zachodzi równość  .    SPRZĘŻENIE HERMITOWSKIE MACIERZY    Sprzężenie hermitowskie macierzy –  złożenie operacji  transpozycji  i  sprzężenia  zespolonego  macierzy  zespolonych.  Dokładniej, sprzężenie hermitowskie to odwzorowanie      dane wzorem  .  Innymi słowy.  .    Uogólnieniem pojęcia sprzężenia hermitowskiego macierzy na operatory na  przestrzeniach  Hilberta  jest pojęcie  operatora sprzężonego.        Macierz hermitowska (samosprzężona) A,  to taka macierz kwadratowa, która jest równa  swojemu sprzężeniu hermitowskiemu.    Macierz:      jest samosprzężona, ponieważ:      WŁASNOŚCI:    Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wartości  rzeczywiste.     Macierze hermitowskie mają  rzeczywiste  wartości własne.  Istotnie, niech λ będzie wartością własną  macierzy  A, tj. Ax = λx dla pewnego niezerowego wektora x. Wówczas  ,  co dowodzi, że λ jest liczbą rzeczywistą ponieważ  .      SPRZĘŻENIE TRYWIALNE MACIERZY  ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz