UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
f(x) - funkcja gęstości funkcja kumulująca: niemalejąca, lewostronnie ciągła
CZAS TRWANIA ŻYCIA
Załóżmy, że czas życia ludzkiego jest pewną ciągłą zmienną losową. Oznaczamy przez X czas trwania życia noworodka czyli obecnie w wieku 0 lat.
Niech Oznacza funkcję trwania życia czyli prawdopodobieństwo, że noworodek osiągnie wiek X lat, tzn. że jego zgon nastąpi w wieku późniejszym niż X. Zakładamy, że istnieje kres górny trwania życia W taki, że: Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze między wiekiem X, a wiekiem Z: Prawdopodobieństwo warunkowe że noworodek umrze między wiekiem X, a wiekiem Z, przy założeniu, że przeżył wiek X: Jeżeli noworodek dożyje wieku X lat, to okres dalszego trwania życia jest również zmienną losową.
CZAS PRZEŻYCIA OSOBY UBEZPIECZONEJ
Zakłada się, że czas przeżycia T(x) dla osób w wieku X jest zmienną losową o wartościach z przedziału [0,W-X] i zadanym rozkładzie prawdopodobieństwa (dla uproszczenia).
Aktuariusz to specjalista ubezpieczeniowy, który oszacowuje za pomocą metod analizy matematycznej, tzw. matematyki aktuarialnej, wysokość składek, świadczeń, odszkodowań.
RACHUNEK AKTUARIALNY
Prawdopodobieństwo, że osoba w wieku obecnie X lat umrze w przeciągu T lat: tqx Prawdopodobieństwo, że osoba w wieku X lat dożyje wieku (X+T) lat (funkcja dalszego trwania życia):
tpxtqx=1-tpx W szczególnym przypadku, gdy X=0, to T(0)=X oraz: tp0=S(t) , Jednoroczne prawdopodobieństwo śmierci i przeżycia oznacza się odpowiednio qx, px Jeśli t|upx oznacza prawdopodobieństwo, że osoba obecnie w wieku X lat, przeżyje T lat i umrze w ciągu następnych U lat, tzn. że umrze pomiędzy wiekiem (x+t) a wiekiem (x+t+u):
t|uqx= t+uqx-qx=tpx-t+upx Prawdopodobieństwo , że osoba w wieku X przeżyje T lat pod warunkiem, że ukończyła już X lat:
tpx oraz tqx= otrzymujemy:
t|uqx tpx uqx+t t+upx tpx upx+t INTESYWNOŚCI UMIERALNOŚCI
Załóżmy, że , to
gdzie f(x) jest funkcją gęstości zmiennej losowej x
Intensywność umieralności to: czyli prawdopodobieństwo zgonu dokładnie w wieku x lat.
CAŁKOWITY CZAS TRWANIA ŻYCIA
Niech K(x) oznacza zmienną losową opisującą liczbę pełnych lat, jakie pozostały do przeżycia osobie w wieku X, czyli Rozkład zmiennej losowej K(x):
xpx-k+1px=kpxxqx+k=k+1qx dla k=0, 1, 2, …
TABLICE TRWANIA ŻYCIA
Tablice trwania życia są teoretycznym modelem ludzkości, której liczba stopniowo się zmniejsza na skutek zgonów. Opisują one proces wymierania generacji osób jednocześnie urodzonych lub porządek wymierania osób z różnych generacji żyjących w danym momencie. Punktem wyjścia jset prawdopodobieństwo zgonu (q
(…)
… i - tego towaru w koszyku x.
Prawo Gossehe: Końcowa użyteczność każdego towaru maleje, w miarę jak wzrasta jego spożycie.
Powierzchnia obojętności Kx:
Krzywa obojętności Kx to zbiór F'(x) koszyków towarów nie gorszych niż koszyk x w przestrzeni towarów Krańcowa stopa substytucji i - tego towaru przez j - ty towar w koszyku x:
Elastyczność substytucji i-tego towaru przez j-ty towar:
Krańcowa stopa substytucji…
…, które na rynku może nabyć konsument z dochodem :
Czyli: może istnieć jeden preferowany koszyk, może istnieć wiele takich koszyków lub może w ogóle nie istnieć taki koszyk.
ZADANIE PROGRAMOWANIA NIELINIOWEGO
Zadanie maksymalnej użyteczności konsumpcji; max U(x) przy ograniczeniach: Jest to szczególne zadanie zadania ogólnego zwanego zadaniem programowania nieliniowego max f(x) przy ograniczeniach Twierdzenie…
… na ten towar nie maleje
PRAWA PRODUKCJI
1.Założenie proporcjonalności nakładów i wyniku 1/Założenie malejących przychodów: 2/Założenie rosnących przychodów: 3/Addytywność procesów produkcyjnych: 4.Brak „rogu obfitości”: Bez nakładów nie ma wyników
5.Nieodwracalność procesów produkcji Możliwość marnotrawstwa
= jeżeli z wektora nakładów x można otrzymać wektor produkcji y, to można także otrzymać każdy wektor…
… wynik poniżej tego, co mogą osiągnąć.
Definicja: Wynik gry macierzowej nazywamy punktem siodłowym, jeżeli jego wartość jest mniejsza lub równa każdej wartości w jego wierszu, a większa lub równa każdej wartości w jego kolumnie. Jeżeli gra ma punkt siodłowy to każdy z graczy powinien wybrać strategie zawierające go.
Definicja: V jest wartością gry, jeśli wiersz ma strategie gwarantującą wygranie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)