To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Twierdzenia równoważne aksjomatowi wyboru Dwie wersje aksjomatu wyboru AW: Jeżeli K jest rodziną niepustych zbiorów to istnieje funkcja (tzw. funkcja wyboru) taka że .
AW Dla każdej rodziny niepustych parami rozłącznych zbiorów, istnieje zbiór (sektor) taki że: . dowód: niech: K - rodzina niepustych parami rozłącznych zbiorów istnieje funkcja wybory niech: bierzemy dowolny: niech: K - rodzina niepustych zbiorów definiuję: czyli: K' - rodzina zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje W - selektor K' definiujemy funkcję - funkcja wyboru rodziny K Lemat Kuratowskiego-Zorna Jeżeli w zbiorze częściowo uporządkowanym każdy niepusty łańcuch ma majorantę to w X istnieje element maksymalny. Twierdzenie Zermelo Każdy niepusty zbiór można dobrze uporządkować
Twierdzenie H ausdorffa W każdym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje łańcuch maksymalny (w sensie relacji zwierania „ ”)
Zależność: definiujemy: określamy: - zbiór częściowo uporządkowany bierzemy: niech: - relacja dobrego porządku niech: w B istnieje element najmniejszy w relacji taki że - element najmniejszy w B w relacji T (relacja i zbiór największy) z w istnieje element największy hipoteza: niech: , P- relacja częściowego porządku P - relacja dobrego porządku w D i - sprzeczne czyli: Niech: K - rodzina niepustych zbiorów - da się uporządkować relacją definiujemy (względem relacji ) czyli f - funkcja wyboru - zbiór częściowo uporządkowany Niech: K - rodzina wszystkich łańcuchów w X - zbiór częściowo uporządkowany - łańcuch w K - majoranta w bo: - łańcuch LKZ w K istnieje element maksymalny w sensie zawierania - zbiór częściowo uporządkowany bierzemy: definiujemy: sprawdzamy czy - relacja częściowego porządku zwrotność i przechodniość - ok antysymetryczność: bierzemy 1) pokazujemy ze h - funkcja, - jednoznacznie określona czyli czy: 2) skoro 3) skoro 4) majoranta Z LKZ w Y istnieje element maksymalny f czy: nwp: Warunki równowa żn e dobremu uporz ą dkowaniu zbioru Jeżeli - zbiór liniowo uporządkowany to następujące warunki są równoważne:
- zbiór dobrze uporządkowany
Żaden ciąg elementów w X nie jest malejący
dowód: - zbiór dobrze uporządkowany
Bierzemy dowolny Niech (ciąg o elementach z X)
Definiujemy Bierzemy Czyli Stąd
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)