Testy dla dwóch prób w rodzinie rozkładów normalnych Wykład 12; 14 maja 2012 Przykład Rozwa˙zamy dane wygenerowane losowo; ( podobne do danych z przykładu 7.2 z ksi ˛ a˙z- ki A. Łomnickiego) n 1 = 9 poletek w d ˛ abrowie, n 2 = 10 poletek w borze Liczby paj ˛ aków (na poletkach) w d ˛ abrowie : 45, 57, 30, 61, 52, 64, 50, 60, 48; Liczby paj ˛ aków (na poletkach) w borze: 46, 32, 39, 34, 46, 31, 37, 26, 52, 21. Chcieliby´smy zweryfikowa´c hipotez˛e o równo´sci liczby paj ˛ aków w borze i d ˛ abrowie. Formalizacja problemu Zakładamy,˙ze x 1 , x 2 , . . . , xn 1 , liczby paj ˛ aków na poletkach w d ˛ abrowie, s ˛ a realizacja- mi próby prostej X 1 , X 2 , . . . , Xn 1 , X 1 , X 2 , . . . , Xn 1 , Xi ∼ N ( µ 1 , σ 1) , i = 1 , 2 , . . . , n 1 oraz ˙ze y 1 , y 2 , . . . , yn 2 s ˛ a realizacjami próby prostej Y 1 , Y 2 , . . . , Yn 2 , Yi ∼ N ( µ 2 , σ 2) , i = 1 , 2 , . . . , n 2 . W naszym przykładzie : x 1 = 45 , . . . , y 1 = 46 , . . . . Chcemy zweryfikowa´c hipotez˛e H 0 : µ 1 = µ 2 przeciwko hipotezie H 1 : µ 1 = µ 2 Weryfikacja hipotezy o równo´sci wariancji Przy zało˙zeniu, ˙ze: σ 1 = σ 2 (warunek "jednorodno´sci wariancji" jest spełniony) mo- gliby´smy zastosowa´c test Studenta dla jednorodnych wariancji dla prównania dwóch ´srednich. Ma on wiele zalet (z punktu widzenia teorii testowania hipotez). Dlatego pierwszym krokiem powinno by´c sprawdzenie hipotezy o równo´sci wariancji: H j 0 : σ 2 1 = σ 2 2 przeciwko H j 1 : σ 2 1 = σ 2 2 . Odpowiedn ˛ a statystyk ˛ a testow ˛ a dle weryfikacji H j 0 przeciwko H j 1 jest F = S 2 1 S 2 2 gdzie S 2 1 jest wariancj ˛ a próbkow ˛ a dla pierwszej próby, S 2 2 jest wariancj ˛ a próbkow ˛ a dla drugiej próby. Mo˙zna pokaza´c, ˙ze F ma rozkład Fn 1 − 1 ,n 2 − 1 (rozkład F-Snedecora z n 1 − 1 i n 2 − 1 stopniami swobody). 1 Rozkład F-Snedecora x y 0 1 2 3 4 5 6 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Rysunek 1: Wykres g˛esto´sci rozkładu rozkładu F 4 , 30 ; obszar zakreskowany odpowiada warto´sciom wi˛ekszym ni˙z F 0 , 975;4;30 = 3 , 25 . Funkcja g˛esto´sci rozkładu Fn 1 ,n 2 patrz Koronacki i Mielniczuk (2001, str. 208). Hipoteza o równo´sci wariancji — obszar krytyczny Obszar krytyczny, dla poziomu istotno´sci α , ma posta´c [0 , Fα/ 2; n 1 ,n 2 ] ∪ [ F 1 −α/ 2 ,n 1 ,n 2 , ∞ ) . Weryfikacja
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)