1 OGÓLNA TEORIA ODWZOROWAŃ KARTOGRAFICZNYCH 4.1 Pojęcie odwzorowania kartograficznego Odwzorowaniem jednej powierzchni na drugą nazywamy każdą wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość punktową między powierzchnia nazywana oryginałem a powierzchnią nazywaną obrazem. Załóźny, ze w układzie współrzędnych prostokątnych OXYZ powierzchnia oryginału określona jest równaniami parametrycznymi X1 = X1 (u, v), Y1 = Y1 (u, v), Z1 = Z1 (u, v), (4.1) natomiast powierzchnia obrazu określona jest równaniami X1 = X1 (U, V) Y1 = Y1 (U, V), Z1 = Z1 (U, V), (4.2) Odwzorowanie dane jest dwiema funkcjami U = f (u,v) V = g (u,v), (4.3) które nazywamy funkcjami odwzorowawczymi. Funkcje odwzorowawcze f, g przyporządkowują każdemu punktowi P (u, v) oryginału odpowiedni punkt P’(u,v) obrazu. Powinny istnieć także funkcje F, G, które każdemu punktowi P’ (U,V) obrazu przyporządkowują odpowiedni punkt P (U, V)) oryginału. Kartografia matematyczna zajmuje się takimi odwzorowaniami, których oryginałami, jest cała powierzchnia lub część powierzchni elipsoidy obrotowej lub kuli. Obrazem jest najczęściej cała płaszczyzna lub jej część. Widzimy, że zarówno powierzchnia oryginału jak i powierzchnia obrazu są powierzchniami regularnymi. Odwzorowanie nazywamy regularnym, gdy funkcje f i g spełnią ją następujące warunki: a) każdej parze wartości parametrów u,v przyporządkowują. jedną i tylko jedną parę wartości parametrów U,V; b) są ciągłe i co najmniej dwukrotnie różniczkowalne; c) są wzajemnie niezależne, 2 co ma miejsce wtedy, gdy wyznacznik: zwany jakobianem układu (•4.3), jest różny od zera dla. wszystkich par wartości u, v. W odwzorowaniach regularnych: obrazem punktu jest punkt, obrazem krzywej jest krzywa, obrazem kąta jest kąt, obrazem obszaru jest obszar. Obrazem krzywych mających wspólną styczną w punkcie P są krzi»» mające także wspólną styczną w obrazie punktu P. Jeżeli oryginałem jest cała powierzchnia elipsoidy obrotowi lub jej część, to rolę parametrów u, v odgrywają zwykle współrzędne elipsoidalne B,L. Jeżeli rolę parametrów
(…)
… (4.14)
4.3 Odwzorowanie elementów powierzchni elipsoidy obrotowej na płaszczyznę
Na powierzchni elipsoidy obrotowej utwórzmy elementarny czworobok krzywoliniowy,
którego bokami są nieskończenie małe luki południków i równoleżników (rys. 4.1).
Rys. 4.1
Czworobok ten, będący wycinkiem powierzchni elipsoidy obrotowej, możemy traktować
4
jako figurę płaska, leżącą w płaszczyźnie stycznej do elipsoidy w punkcie P, ponieważ
różniczki dB i dL są wielkościami nieskończenie małymi.
Długości łuków południka (ds1) i równoleżnika (ds2) są określone wzorami:
ds1 = M dB, (4.15)
ds2 = r dL, (4.16)
gdzie:
M- długość promienia przekroju południkowego,
r = N cos B jest długością promienia równoleżnika,
N - długość promienia krzywizny przekroju poprzecznego.
Wzory określające długość i azymut elementu liniowego P1P3…
… odwzorowaniu skala pól zależy od współrzędnych B, L, określających położenie
rozpatrywanego punktu.
Zniekształcenie długości wyraża się wzorem:
Zm = m – 1
(4.13)
a zniekształcenie pól wzorem
Zp = p – 1
(4.14)
4.3 Odwzorowanie elementów powierzchni elipsoidy obrotowej na płaszczyznę
Na powierzchni elipsoidy obrotowej utwórzmy elementarny czworobok krzywoliniowy,
którego bokami są nieskończenie małe luki…
… się z obrazami równoleżników pod kątem prostym,
b) w każdym punkcie skala długości w kierunku południków jest równa skali w
kierunku równoleżników.
Przedstawiony warunek (4.47) w postaci bardziej rozwiniętej korzystając ze wzorów (4.24),
(4.25) i (4.27) ma postać:
∂x ∂x ∂y ∂y
+ =0
∂B ∂L ∂B ∂L
∂x 2 ∂y
2
∂x ∂x ∂y ∂y r
+ : − . =1
∂B ∂B ∂B ∂L ∂B ∂L M
Po wyznaczeniu…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)