Teoria kolejek Uwagi wstępne Kolejki spotykamy wszędzie. Każdy z nas co najmniej kilkakrotnie oczekiwał na obsługę: w kawiarni, w księgarni, w bibliotece, w banku itp. Przykładem kolejek jest oczekiwanie na połączenie telefoniczne z numerem wewnętrznym, na zmianę świateł na skrzyżowaniu, na poranną pocztę. Wspólnymi cechami tych sytuacji jest przybycie obiektów wymagających obsługi i oczekiwanie na obsługę, jeśli mechanizm świadczący usługi jest zajęty.
Badania operacyjne ukazują nam metody analizy zjawisk, w których występują kolejki i problemy związane z masową obsługą ludzi, urządzeń lub sygnałów. Podobnie jak w innych zastosowaniach problem decyzyjny musi mieć znaczenie ekonomiczne, by opłacało się go rozwiązywać. Zastosowanie modeli masowej obsługi przynosi dobre efekty przy rozwiązywaniu dwóch rodzajów zagadnień. Pierwsza grupa zagadnień dotyczy systemu, który musi użytkować wiele podobnych urządzeń obsługi lub kanałów i stoi np. przed problemem określenia ich liczby lub przepustowości (szybkości obsługi).
Mimo, że konkretne dane charakteryzujące określone problemy zależą od sytuacji analizowanego obiektu, to jednak możemy zastosować tę samą procedurę obliczeniową do analizy każdej z decyzji dotyczących systemów masowej obsługi. Drugi typ zagadnień według pracy Wagnera [1], w których zastosowanie modeli masowej obsługi przynosi efekty to te problemy, przed którymi stoi firma podejmująca decyzję inwestycyjną. Może to np. dotyczyć decyzji o liczbie i przepustowości kanałów obsługi.
Przykład trywialny Problem kolejek pozwala zrozumieć przykład związany z organizacją obsługi kasowej w sklepie samoobsługowym [2]. Klient, przechodząc obok regałów wybiera interesujące go towary, a następnie zmierza do kasy by uiścić należność. Tutaj mogą zdarzyć się dwie sytuacje:
przed kasą nie ma kolejki i klient jest obsłużony natychmiast;
przed kasą jest kolejka, klient ustawia się na jej końcu i czeka na obsługę.
Kolejka, w której stanął klient może mieć różną długość. Podstawową sprawą jest ustalenie, czy kolejka się wydłuża, pozostaje nie zmieniona czy ulega skróceniu. Ma to bezpośredni wpływ na decyzję klienta, który chce być obsłużony jak najszybciej. Inny punkt widzenia reprezentuje właściciel sklepu, który chce by kasjer pracował nieprzerwanie, czyli by obsada kasowa była w pełni wykorzystana. Jednak właściciel lub kierownik może także wziąć pod uwagę stronę klienta mając na uwadze własny w tym interes. Dzieje się tak, gdyż klient stojący w zbyt długiej kolejce traci dużo czasu i następnym razem może już nie odwiedzić tego sklepu a wybrać inny, w którym obsługa jest szybsza (sprawniejsza). Klient wybierze sklep, w którym jego czas będzie szanowany. Przed właścicielem stoi zatem zadanie wyboru odpowiedniej optymalnej decyzji. Pomocą dla niego są podstawowe parametry charakteryzujące obsługę, takie jak :
(…)
… liczby zgłoszeń w dowolnym przedziale o długości T jest rozkładem Poissona:
P[liczba zgłoszeń w przedziale o długości T jest równa n]= Z powyższego zapisu widać, że:
E(n|T)=λT oraz Var(n|T)= λT
Strumień zgłoszeń w rozkładzie wykładniczym nazywamy strumieniem Poissona (niekiedy nazywamy go również strumieniem Markowa i oznaczamy symbolem M). Ze wzorów przytoczonych powyżej wynika, że:
P[długość…
… przedziału znajduje się natychmiast po zgłoszeniu.
Proces zgłoszeń
Przy następujących założeniach długość okresów między kolejnymi zgłoszeniami ma rozkład wykładniczy, a strumień zgłoszeń ma rozkład Poissona:
okresy między kolejnymi zgłoszeniami mają rozkłady jednakowe i niezależne; prawdopodobieństwo, że w okresie między T a T+h zrealizuje się tylko jedno zgłoszenie zależy tylko od długości przedziału h…
… czas nadejścia pierwszego zgłoszenia. Zgodnie z założeniem c w momencie x do systemu zgłasza się tylko jeden klient. Na mocy założenia a możemy zapisać, że:
gdzie:
Na podstawie funkcji gęstości :
Różniczkując względem T otrzymujemy:
Ponieważ , to równanie różniczkowe można rozwiązać rekurencyjnie, rozpoczynając dla n=1.
Każde z tych równań jest równaniem liniowym różniczkowym pierwszego rzędu…
…, dla h→0 przyjmują wartość zero.
Możemy stwierdzić, że dla n=M:
Na podstawie tego możemy opisać rozkład wzorami (jednoznaczne rozwiązanie układu liniowych równań różniczkowych):
Są to wzory określające ucięty rozkład Poissona.
Ogólny czas y, spędzany przez ostatniego klienta w systemie ma funkcję gęstości określoną przy pomocy sumy M zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych.
Wartość oczekiwana…
… (gdy h jest bardzo małe). W związku z tym dla 1≤n<M:
Pierwszy składnik poprzedniego wzoru określa prawdopodobieństwo, że w przedziale o długości h nie było obsługi i że w systemie w momencie T znajdowało się n klientów.
Przekształcając wzór otrzymujemy:
zaś przyjmując, że h→0 obliczamy:
W zależności tej występuje znak równości, gdyż wszystkie inne małe składniki, które ignorowaliśmy we wzorach powyżej…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)