Szereg liczbowy

1      SZEREG  LICZBOWY 1.    1.  Zapisać szereg w postaci skróconej. Czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregu ?    (a)  1 2 3 4 5 6 7 8    (b)  1 1 1 3 1 5 1 7     (c)    4 1 3 1 2 1 1 1 sin   sin   sin   sin      2.  Określić   n ty wyraz szeregu. Czy szereg jest zbieżny?  Określić sumę szeregu.    (a)  1 7 4 ) 3( n n    (b)  1 1 1 2 4 3 n n n    (c)  1 6 2 7 3 2 2 n n n n   (d)  1 6 1 1 2 ) ( 9 5 n n- n     3.  Obliczyć wartość liczbową ułamka okresowego.     (a)   ) 7 ( , 0   (b)   ) 66 ( , 0   (c)   ) 303 ( , 6     4.  Korzystając z kryterium d'Alemberta zbadać zbieżność szeregu.    (a)  1 2 1 2 n n n   (e)  1 ! 2 n n n n n   (i)  2 3 4 9 6 27 8 81      (b)  1 )! 1 2 ( 2 n n n   (f)  ! 1 ) ( 4 n n n n   (j) 1 3 2 3 3 2 5 3 2 7 3 2 9 2 2 3 3 4 4     (c)  1 3 )! 1 ( n n n   (g)  1 )! 2 ( ) ! ( 3 2 n n n n   (k)  1 3 5 2 3 9 3 3 13 4 3 2 3 4     (d)  1 3 5 3 n n n n   (h)  1 ) 10000 ( )! ( n n n    (l)  21 3 41 9 61 27 81 81      5.  Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregu.    (a)  1 9 25 n n n    (b)  1 5 3 1 n n n   (c)  1 82 87 2 n n n n    (d)  1 9 3 2 1 2 2 n n n n     6.  Wykazać, korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregu, że szereg jest rozbieżny.     (a)  1 4 1 ) - (1 n n n   (b)  1 2 3 5 4 2 2 n n n n n    (c)  1 3 22 n n n   (d)  1 ) cos( n n   (e)  1 2 4 3 5 2 ln n n n n       Odpowiedzi.  1 (a) 1 2 1 2 n n n , nie  (b)  1 2 1 1 n n , tak    (c)  sin 1 1 n n , tak    2 (a)  n n a ) ( 3 7 4 ,  4 S , zbieżny  (b)  n n a ) ( 12 4 9 ,   S , rozbieżny     (c)   n n ) ( a 2 1 2 ,  n n b ) ( 7 3 2 ,  2 1 S ,  14 2 S ,  12 2 1 S S S , zbieżny     (d)   n 54 5 20 1 ) ( n a ,  196 1 S zbieżny  3 (a)    9 7   (b)    3 2   (c)    333 2099   4.   szeregi zbieżne:  (a)  2 1 q   (b)   0 q     (e)  ... zobacz całą notatkę