Fragment notatki:
7. Szczególna teoria względności.
Wybór i opracowanie zadań 7.1-7.9: Barbara Kościelska
Więcej zadań z tej tematyki znajduje się w II części skryptu.
7.1. Czy można znaleźć taki układ odniesienia, w którym Chrzest Polski i Bitwa pod
Grunwaldem zaszłyby:
a) w tym samym miejscu,
b) w tym samym czasie?
7.2. W tym samym miejscu korony słonecznej w obrębie 12 s nastąpiły dwa wybuchy.
Rakieta poruszająca się ze stałą prędkością względem Słońca zarejestrowała obydwa te
zdarzenia w odstępie 13 s.
a) Z jaką prędkością porusza się rakieta?
b) Ile wynosi odległość przestrzenna między wybuchami w układzie związanym z
poruszającą się rakietą?
7.3. Dwie cząstki o jednakowych prędkościach v = 0,75 c poruszają się po jednej prostej i
padają na tarczę. Jedna z nich uderzyła w tarczę o ∆t= 10-8 s później niż druga. Obliczyć
odległość między tymi cząstkami w locie w układzie odniesienia związanym z nimi.
7.4. Długość nieruchomego pociągu jest dokładnie taka sama jak długość tunelu i wynosi L0.
Pociąg ten jedzie z prędkością v. Jak długo będzie trwał przejazd pociągu przez tunel według
pasażera siedzącego w pociągu oraz według turysty stojącego koło tunelu? Czas przejazdu
określamy jako odstęp czasu pomiędzy momentem, kiedy czoło pociągu mija wlot tunelu i
chwilą gdy koniec ostatniego wagonu znajduje się przy końcowej krawędzi tunelu.
7.5. Mezony µ, które powstają w górnych warstwach atmosfery poruszają się w kierunku
Ziemi z prędkością v = 0,9c (c-prędkość światła w próżni). Po przebyciu drogi L (mniejszej
niż grubość atmosfery) mezony rozpadają się. Obliczyć:
(a) czas życia mezonu mierzony w układzie związanym z Ziemią oraz w układzie związanym
z mezonem,
(b) grubość warstwy atmosfery, jaką przebędzie mezon, mierzoną w układzie mierzonym z
mezonem.
7.6. Układ K’ porusza się z prędkością u względem nieruchomego układu odniesienia K. W
układzie K pręt poruszający się względem niego z prędkością v = 2u ma długość L. Jaka jest
długość tego pręta w układzie K’? Długość spoczynkowa pręta w obu układach jest taka
sama.
7.7. Sztywny pręt o długości L2 = 1,5 m znajduje się w spoczynku względem układu K2. Jaka
będzie długość L1 i orientacja pręta θ1 w układzie K1, jeżeli w układzie K2 pręt tworzy kąt θ2 =
45° z osią x2 i układ ten porusza się z prędkością v = 0,98c.
7.8.* Jaką maksymalną prędkość musi mieć cząstka, aby jej energia kinetyczna mogła być
napisana w postaci E = 0,5m0v2 z błędem nie przekraczającym 1%.
7.9. Dowieść, że cząstka o ładunku q poruszająca się prostopadle do pola magnetycznego o
indukcji B będzie zataczać okrąg o promieniu R = (2E0EK + EK2)1/2/(qcB), gdzie E0 jest
energią spoczynkową, a EK energią kinetyczną cząstki.
Rozwiązania:
7.1.R. Załóżmy, że Gniezno, w którym odbył się w roku 966 (chwila czasu t1) Chrzest Polski,
ma w przestrzeni w układzie współrzędnych związanym z Ziemią położenie x1, natomiast w
chwili czasu t2 (1410 rok) odbyła się w punkcie o współrzędnej x2 Bitwa pod Grunwaldem.
Wiemy, że w układzie współrzędnych związanym z Ziemią oba zdarzenia zaszły w innych
miejscach i innym czasie. Załóżmy, że istnieje jakiś inny układ odniesienia, poruszający się
względem naszego z prędkością v. Przyjmijmy, że w tym nowym układzie współrzędnych
Chrzest Polski miał miejsce w punkcie x1' w chwili czasu t1', zaś Bitwa pod Grunwaldem w
punkcie x2' w chwili t2'.
(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:
(1)
x1' =
x1 − vt1
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
'
x2 =
,
x2 − vt2
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
.
W nowym układzie współrzędnych oba zdarzenia miałyby zajść w tym samym miejscu, czyli:
'
x1' = x2 .
Wówczas prawe strony równań (1) też będą sobie równe:
x1 − vt1
2
=
x2 − vt2
⎛v⎞
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
⎝c⎠
x1 − vt1 = x2 − vt2 ,
skąd:
(2) v =
2
,
x2 − x1
.
t 2 − t1
Układ, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym samym miejscu przestrzeni musiałby
poruszać się względem naszego układu z prędkością v opisaną wzorem (2).
(b) Zgodnie z transformacją Lorentza:
v
x1
'
c2
(3) t1 =
,
2
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
t1 −
v
x2
'
c2
.
t2 =
2
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
t2 −
W nowym układzie współrzędnych oba zdarzenia miałyby zajść w tym samym czasie, czyli:
t1' = t 2' .
Wówczas prawe strony równań (3) też będą sobie równe:
v
v
x1
t 2 − 2 x2
c
c2
=
,
2
2
⎛v⎞
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
⎝c⎠
v
v
t1 − 2 x1 = t 2 − 2 x2 ,
c
c
t1 −
skąd:
(4) v = c 2
t 2 − t1
.
x2 − x1
Otrzymana prędkość (4) nowego układu współrzędnych jest większa od prędkości światła w
próżni, czyli układ, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym samym czasie nie istnieje.
7.2.R. Oznaczmy współrzędną miejsca w którym zaszły na Słońcu dwa wybuchy przez x1, a
przedział czasu między nimi t2 - t1 = ∆t = 12 s (gdzie t1 i t2 są chwilami czasu, w których
nastąpił odpowiednio pierwszy i drugi wybuch. Przyjmijmy, że w układzie związanym z
rakietą wybuchy na Słońcu nastąpiły w miejscach o współrzędnych x1' oraz x2', w chwilach
czasu odpowiednio t1' oraz t2' (t2' - t1' = ∆t' =13 s).
(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:
v
x1
'
c2
,
t1 =
2
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
v
x2
'
c2
.
t2 =
2
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
t2 −
t1 −
Wówczas czas między wybuchami w układzie współrzędnych związanym z rakietą:
t 2' − t1' =
t2 −
v
v
x1 − t1 − 2 x1
t −t
c2
c
= 2 1 2,
2
⎛v⎞
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
⎝c⎠
czyli:
∆t ' =
∆t
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
,
skąd prędkość, z jaką porusza się rakieta:
∆t 2
(1) v = c 1 − ' 2 .
∆t
(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:
x1' =
x1 − vt1
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
x1 − vt2
'
x2 =
,
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
.
Wówczas odległość między wybuchami w układzie współrzędnych związanym z rakietą:
'
x1' − x2 =
x1 − vt1 − x1 + vt2
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
=
v(t 2 − t1 )
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
=
v ∆t
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
.
gdzie v jest prędkością rakiety opisaną równaniem (1).
7.3.R. Niech x1 i x2 oznaczają współrzędne cząstek w układzie odniesienia związanym z
tarczą, natomiast x1' i x2' współrzędne cząstek u układzie odniesienia związanym z nimi.
Zgodnie z transformacją Lorentza:
x1' =
x1 − vt
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
'
x2 =
,
x2 − vt
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
.
Wówczas odległość między cząstkami w układzie odniesienia związanym z nimi:
(1)
'
x2 − x1' =
x2 − vt − x1 + vt
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
=
x2 − x1
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
.
Odległość między cząstkami w układzie związanym z tarczą:
(2)
x2 − x1 = v ∆t ,
gdzie ∆t jest czasem zmierzonym pomiędzy uderzeniami cząstek o tarczę w układzie
współrzędnych związanym z tarczą. Wstawiając (2) do (1) otrzymamy:
'
x2 − x1' =
v ∆t
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
= 3,4 m .
7.4.R. Odpowiedź: według obu obserwatorów (pasażera pociągu i turysty stojącego koło
tunelu) czas przejazdu pociągu wynosi:
2
L0 ⎛
⎛v⎞ ⎞
t = ⎜1 + 1 − ⎜ ⎟ ⎟ .
v ⎜
⎝c⎠ ⎟
⎝
⎠
7.5.R. Odpowiedź:
(a) Czas życia mezonu mierzony w układzie związanym z Ziemią:
t=
L
.
v
Czas życia mezonu mierzony w układzie związanym z mezonem:
2
L
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟ .
t=
v
⎝c⎠
(b)
2
Latm.
⎛v⎞
= L0 1 − ⎜ ⎟ .
⎝c⎠
7.6.R. Długość L' pręta w układzie K' wynosi:
2
⎛ v' ⎞
L' = L0 1 − ⎜ ⎟ ,
⎝c⎠
(1)
gdzie v' jest prędkością pręta w układzie K', a L0 jego długością spoczynkową. Długość L0
pręta możemy obliczyć znając jego długość L oraz prędkość 2u w układzie K:
(2)
L0 =
Prędkość pręta w układzie K':
(3) v' =
Podstawiając (2) i (3) do (1) otrzymamy:
L
⎛ 2u ⎞
1− ⎜ ⎟
⎝ c ⎠
2
7.7.R. Długość L1 pręta rozkładamy na dwie
składowe L1x i L1y, równoległe odpowiednio do
osi x1 i y1 układu K1. Wówczas otrzymamy:
2
2
L1 = L1 x + L1 y .
Składowa L1y jest prostopadła do kierunku
wektora prędkości v układu K2, i mierzona z
układu K1 nie będzie doznawać skrócenia.
Czyli:
(2)
.
2u − u
u
.
=
2
2u
2u 2
1− 2 1− 2
c
c
⎛u ⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
L' = L
2 .
⎛u⎞
1 − 2⎜ ⎟
⎝c⎠
(1)
2
L1 y = L2 y = L2 sin θ 2 ,
gdzie L2y jest składową długości pręta L2 równoległą do osi y2 układu K2. Składowa L1x jest
równoległa do kierunku wektora prędkości v układu K2, i mierzona z układu K1 ulegnie
skróceniu:
2
(3)
L1 x = L2 x
2
⎛v⎞
⎛v⎞
1 − ⎜ ⎟ = L2 cos θ 2 1 − ⎜ ⎟ ,
⎝c⎠
⎝c⎠
gdzie L2x jest składową długości pręta L2 równoległą do osi x2 układu K2. Podstawiając (2) i
(3) do (1) otrzymamy:
2
⎛v⎞
L1 = L2 1 − ⎜ ⎟ cos 2 θ 2 = 1,08 m.
⎝c⎠
Orientacja pręta w układzie K1 będzie określona wzorem:
tan θ1 =
tan θ 2
L1 y
=
L1 x
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
,
skąd po podstawieniu wartości liczbowych:
θ1 = 78,7°.
7.8.R.* Oznaczmy przez Ekl energię kinetyczną w ujęciu klasycznym, zaś przez Erel energię
kinetyczną w ujęciu relatywistycznym. Wówczas:
1
Ekl = m0 v 2 ,
2
2
m0 c
1
− 1) .
− m0 c 2 = m0 c 2 (
Erel = mc 2 − m0 c 2 =
2
2
⎛v⎞
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
⎝c⎠
(1)
(2)
Rozwijając pierwszy składnik równania (2) w szereg dwumianowy i biorąc pod uwagę
pierwsze trzy składniki rozwinięcia otrzymamy:
2
4
1 ⎛ v⎞ 3⎛ v⎞
= 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ .
2
2⎝c⎠ 8⎝c⎠
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
1
Podstawiając powyższe rozwinięcie do równania (2) otrzymamy:
2
4
1 ⎛ v ⎞ 3⎛ v ⎞
m0c 2v 2 3m0c2v 4
Erel = m0c (1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − 1) =
+
,
4
2
2⎝c⎠ 8⎝c⎠
2c
8c
2
(3)
1
3m0 v 4
3m0 v 4
2
Erel = m0 v +
= Ekl +
.
2
8c 2
8c 2
Dzieląc równanie (3) stronami przez Ekl otrzymamy:
2
3⎛v⎞
Erel
=1+ ⎜ ⎟ ,
4⎝c⎠
Ekl
czyli aby energia kinetyczna mogła być zapisana klasycznie z błędem nie większym niż 1%:
2
3⎛v⎞
⎜ ⎟ ≤ 0,01,
4⎝c⎠
v ≤ 0,12c .
7.9.R. Cząstka o ładunku q poruszająca się prostopadle do pola magnetycznego o indukcji B
będzie poruszać się po okręgu o promieniu R. Mamy więc:
mv 2
= qvB ,
R
mv = p = qBR ,
gdzie p jest pędem cząstki. Wówczas:
(1)
R=
p
.
qB
Energię całkowitą E cząstki można wyrazić poprzez jej pęd:
(2)
E 2 = E02 + p 2 c 2 ,
lub przez sumę energii spoczynkowej E0 i kinetycznej EK:
E = E0 + E K ,
skąd po podniesieniu stronami do kwadratu otrzymamy:
(3)
2
E 2 = E02 + 2 E0 E K + E K .
Z równań (2) i (3):
2
E02 + p 2 c 2 = E02 + 2 E0 E K + E K ,
1
2
(4) p =
2 E0 E K + E K .
c
Podstawiając (4) do (1) otrzymamy:
2
2 E0 E K + E K
.
R=
qcB
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)