Składanie drgań harmonicznych odbywających się wzdłuż jednej prostej . Przypuśćmy , że x=Acos( ωt+ϕ) opisuje ruch harmoniczny. Poprowadzmy oś OX (umownie nazwaną oporową) i wykreślmy wektor Ao równy liczbowo amplitudzie A skierowany z punktu O pod kątem ϕ do osi OX. Jeżeli faza początkowa ma wartość dodatnią to kąt ϕ odmierzamy od osi OX w kierunku przeciwnym do kierunku wskazówek zegara. Rzut wektora Ao na oś OX równa się wychyleniu xo w momencie rozpoczęcia liczenia czasu (xo=Acos ϕ). ωo1=ωo2=ωo ; x1=A1cos(ωt+ϕ) ; x2=A2cos( ωt+ϕ) ; x=Acos(ωt+ϕ) ; A2=A12+A22-2A1A2cos(1800-(ϕ2-ϕ1)) ; A2=A12+A22+2A1A2cos(ϕ2- ϕ1) ; A=pierw(A12+A22+2A1A2cos(ϕ2-ϕ1)) ; tgΦ=(A1cosϕ1+A2sinϕ2)/(A1cosϕ1+A2cosϕ2) ; I przez arctg otrzymujemy Φ ; x=AsinΦ ; Φ=ωot+Φ0 ; x=pierw((A12+A22+2A1A2cos(ϕ2-ϕ1))*cos(ωot+Φ0) ; | A1-A2| ≤A≤A1+A2 ; 1) ϕ1-ϕ2=0 A=A1+A2 ; 2)ϕ2-ϕ1=Π/2 A=pierw(A12+A22) ; 3)ϕ2-ϕ1=Π A=|A1-A2| . Załóżmy, że drgania składowe zachodzą wzdłuż jednej prostej (zachodzą w tym samym kierunku) ale moją różne okresy. Dla prostych rozważań zakładamy, że amplitudy drgań są takie same. |A’1|=| A1|=A1 ; x1=A1cos( ωo1+ϕ) ; x2=A2cos(ωo2+ϕ) ; x=Acos(ωo+ϕ) ; A=pierw(A12+A22+2A1A2cos(ωo2- ωo1)t) ; A2=2A12+2A12cos(ωo2-ωo1)t ; A2=2A12+2A12cos(ωo2-ωo1)t ; A2=2A12(1+cos(ωo2-ωo1)t) ; A2=2A12*2cos2(( ωo2-ωo1)/2)*t ; A=2A1|cos(ωo2-ωo1)/2)*t| ; Φ=(Φ2-Φ1)/2+Φ1 ; Φ=(ωo2+ωo1)t/2+ϕ ; X=2A1|cos( ωo2+ωo1)t/2|cos[(ωo2+ωo1)t/2+ϕ] ; Jeżeli założymy, że ω01+ωo2 mało różnią się od ωo1 to ω=ωo2-ωo1 jest małe w porównaniu ωo1+ωo2 i drganie wypadkowe można traktować jako ruch harmoniczny prosty o częstotliwości kołowej ( ωo2+ωo1)/2. Jednak amplituda a tego ruchu nie jest stała lecz powoli się zmienia z zależnością A=2A1|cos( ωo2+ωo1)t/2| ,okres zmian τ=2Π/(ωo2-ωo1) Składanie drgań wzajemnie prostopadłych Punkt materialny bierze udział w dwóch drganiach wzajemnie do siebie prostopadłych o jednakowych częstotliwości. Drgania są w osiach OX i OY. x=A1sin( ωot+ϕ1) ; y=A2sin(ωot+ϕ2). Poszukajmy toru tego punktu. x/A1=sin( ωot+ϕ1) ; y/A2=sin(ωot+ϕ2) ; x/A1=sin ωotcosϕ1+cosωotsinϕ1 ; y/A2=sinωotcosϕ2+cosωotsinϕ2 ; x/A1sinϕ2= sinωotcosϕ1sinϕ2+ cos ωotsinϕ1sinϕ2 ; y/A2sinϕ1= sinωotcosϕ2sinϕ1+ cosωotsinϕ2sinϕ1 ; x/A1sinϕ2- y/A2sinϕ1=
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)