Różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych

Nasza ocena:

5
Pobrań: 154
Wyświetleń: 1561
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych - strona 1 Różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych - strona 2 Różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych - strona 3

Fragment notatki:

1 Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2 dr Jolanta Dymkowska Różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych Definicja Niech funkcja  f  ma w otoczeniu punktu ( x 0 , y 0) pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie.  Różniczką n-tego rzędu funkcji f w punkcie  ( x 0 , y 0) nazywamy funkcję  d nf  ( x 0 , y 0) zmiennych ∆ x  i ∆ y  określoną wzorem: d nf  ( x 0 , y 0) (∆ x,  ∆ y ) = ∂ ∂x ∆ x  + ∂ ∂y ∆ y n f ( x 0 ,y 0) We wzorze tym symbole ∂ ∂x i ∂ ∂y oznaczają odpowiednio operacje różniczkowania po zmiennych x  i  y  , natomiast potęgę traktujemy formalnie do otrzymania pochodnych cząstkowych wyższych rzędów. Różniczką n-tego rzędu funkcji  f  oznaczamy krótko  dnf  . W szczególności różniczka rzędu n ma postać: •  n  = 1 , to df  ( x 0 , y 0) (∆ x,  ∆ y ) = ∂f ∂x ( x 0 , y 0) ∆ x  + ∂f ∂y ( x 0 , y 0) ∆ y •  n  = 2 , to d 2 f  ( x 0 , y 0) (∆ x,  ∆ y ) = ∂ 2 f ∂x 2 ( x 0 , y 0) (∆ x ) 2 + 2 ∂ 2 f ∂x∂y ( x 0 , y 0) ∆ x  ∆ y  + ∂ 2 f ∂y 2 ( x 0 , y 0) (∆ y ) 2 •  n  = 3 , to d 3 f  ( x 0 , y 0) (∆ x,  ∆ y ) = ∂ 3 f ∂x 3 ( x 0 , y 0) (∆ x ) 3 + 3 ∂ 3 f ∂x 2 ∂y ( x 0 , y 0) (∆ x ) 2 ∆ y  + + 3 ∂ 3 f ∂x∂y 2 ( x 0 , y 0) ∆ x  (∆ y ) 2 + ∂ 3 f ∂y 3 ( x 0 , y 0) (∆ y ) 3 Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych Twierdzenie Niech funkcja  f  ma w otoczeniu punktu ( x 0 , y 0) pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie oraz niech ( x, y ) będzie dowolnym punktem z tego otoczenia. Wówczas na odcinku łączącym punkty ( x 0 , y 0) i ( x, y ) istnieje punkt ( xc, yc ) taki, że f  ( x, y ) =  f  ( x 0 , y 0) + 1 1! df  ( x 0 , y 0) ( x − x 0 , y − y 0) + 1 2! d 2 f  ( x 0 , y 0) ( x − x 0 , y − y 0) + +  . . .  + 1 ( n −  1)! d n− 1 f  ( x 0 , y 0) ( x − x 0 , y − y 0) + 1 n ! d nf  ( x c, yc ) ( x − x 0 , y − y 0) 2 Równość powyższą nazywamy wzorem Taylora dla funkcji dwóch zmiennych. Ostatnik składnik w tym wzorze nazywamy n-tą resztą i oznaczamy  Rn  . Jeżeli punkt ( x 0 , y 0) = (0 ,  0) to wzór Taylora nazywamy wzorem Maclaurina. Przykład Napisać wzór Taylora z resztą  R 2 dla funkcji  f  ( x, y ) =  x 2 y  w otoczeniu punktu ( − 1 ,  1). Rozwiązanie Wzór Taylora w otoczeniu punktu ( − 1 ,  1) z resztą  R 2 ma postać: f  ( x, y ) =  f  ( − 1 ,  1) + 1 1! df  ( − 1 ,  1) ( x  + 1 , y −  1) + 1 2! d 2 f  ( x c, yc ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz