Ale czy to wszytsko. Otóż nie. Są jeszcze: Twierdzenie Taylora, Wzór Maclaurina, symbol nieoznaczony, Twierdzenie de'Hospitala, minimum, maksimum, asymptoty, liczby zespolone, całka niewłaściwa. W notatce znajduje się jeszcze wiele twierdzeń i definicji tutaj nie wypisanych a na pewno przydatnych.
*[ ogólnie: dla każdego E>0 istnieje takie n0, że dla każdego n>=n0 |…| <E ]*
*[wzór Newtona: ( n // k) = ( n*(n-k)*…(n-(k-1))) / k! ]*
*[an, bn, cn = an, bn, cn]*
Definicja o granicy ciągu:
Mówimy, że ciąg {pn} jest zbieżny, jeżeli istnieje taki element p, że wyrazy tego ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach są oddalone od p dowolnie mało: lim pn= p, pn-> p
Twierdzenie:
Ciąg może mieć tylko jedną granicę.
>> 0<= d(p,p') <= d(p, pn ) + d(pn , p')< E/2 + E/2 =E // gdzie E - epsilon, d - taka fajka
>> dla liczb zespolonych:
| an - a | < E a - E < an < a + E
an -> a wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu znajdują się w otoczeniu punktu a
wyjątkiem są te, które mają wskaźniki mniejsze od n0 .
>> | 1/n - 0 | < E 1/n < E n > 1/E => n0 = 1/E
Definicja ciągu ograniczonego:
Ciąg jest ograniczony, gdy zbiór jego wartości jest ograniczony: >> istnieje M<0 ,że dla każdego n || pn|| < M
Twierdzenie:
Ciąg zbieżny jest ograniczony, ale ciąg ograniczony nie musi być zbieżny.
>> dla każdego E>0, istnieje n0 takie, że dla każdego n>= n0 d(pn, p) < E
niech M = max( d(p1,p), d(p2,p), …. ,E)
więc: dla każdego n należącego do N d(pn, p) < M
Twierdzenie: Jeżeli lim an = a oraz lim bn = b, to: lim (an + bn) = a+b oraz lim an*bn = a*b
>> |(an + bn) - (a + b)| = |(an - a) + (bn - b)| <= |an - a| + |bn - b| < E
>> dla każdego η>0 istnieje takie n0, że dla każdego n >= n0 {|an - a| < η i |bn - b| < η }
|an*bn - a*b| = |(an*bn - a*bn) + (a*bn - a*b)| <= |an - a|*|bn| + |bn - b|*|a| < ηM + η|a|=E
>> lemat: bn -> b != 0 => istnieje takie n1, że dla każdego n>= n1 |bn| >0
>> do ogólnego wzoru podstawiamy za E ½|b|; |b| - |bn| <= |bn - b| => |b| - |bn| < ½ |b|
Twierdzenie: Jeżeli an -> a oraz bn -> b to: an / bn -> a / b
>> dla każdego η>0 istnieje takie n0, że dla każdego n >= n0 {|an - a| < η i |bn - b| < η i |bn| > ½|b|}
|an / bn - a / b| = |[(an*b - a*b) + (a*b - a*bn)/ bn*b)] / bn*b| <= (|an - a||b| + |a||bn-b|) / |bn||b| < (η|b| + η|a|)/ ½ |b||b| = E
Twierdzenie:
Jeżeli an -> g to η*an -> η*g (η należy do R2)
Jeżeli an -> g i jeśli y=f(x) jest ciągła to f(an) -> f(g)
Jeśli dwa podciągi danego ciągu dążą do tej samej granicy to {an} nie jest zbieżny. Jeżeli k1 < k2 < k3 < … jest ciągiem rosnącym liczb naturalnych, to {ak1, ak2, ak3,…} nazywa się ciągiem wybranym z ciągu {a1, a2, a3, …} albo podciągiem tego ciągu. >> lim qn = 0 dla każdej liczby zespolonej |q|<1 | qn- 0 | < E | q |n< E nlog |q| < logE
(…)
… wykreślonej w tym punkcie.
Twierdzenie o punkcie przegięcia:
Jeżeli funkcja f jest ciągła w otoczeniu punktu x0 i ma drugą pochodną zmieniającą znak w punkcie x0 , to x0 jest punktem przegięcia => zerowanie się II pochodnej jest warunkiem koniecznym istnienia przegięcia.
Definicja asymptoty:
Asymtota danej krzywej to prosta, której odległość od pounktu (x, y) na krzywej dążdy do zera, gdy x lub y dąży…
… elemmentarna (funkcja wymierna, algebraiczna niewymierna, trygonometryczna, wykładnicza) jest ciągła w każdym punkcie, w którym jest określona.
Funkcja f(x) jest ciągła lewostronnie (prawostronnie) w punkcie x0, jeżeli istnieje lim f(x) = f(x0) (przy x-> x0(-/+) ). Funkcja jest ciągła gdy jest ciągła obustronnie. >> funkcja f(x)= sgn x nie jest ciągła w 0, bo nie ma tam granicy
>> funkcja f(x)= lim (2+nx4)/(1…
…
>> dla |1| = 1 oraz arg 1 = 0 - {pierw. n-tego stopnia z 1} = cos 2kπ/n + isin 2kπ/n, dla k = 0, 1, 2, …, n-1 => wzór na pierwiastki n-tego stopnia z jedności: zk = cos 2kπ/n + isin 2kπ/n dla k = 0, 1, 2, …, n-1 => argumentem liczby zkjest k-krotność 2π/n. => liczby zksą wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o r = 1, przy czym jednym z wierzchołków jest 1 Całka nieoznaczona:
Funkcja pierwotna…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)