1. Rozkªady 1. Niech X = (X1, . . . , Xk) b¦dzie prób¡ i niech Y = k i=1 Xi . Udowodni¢ nast¦puj¡ce stwierdzenia. (a) Je»eli Xi, i = 1, . . . , k, maj¡ rozkªad dwumianowy B(ni, p), to Y ma rozkªad dwumianowy B( k i=1 ni, p) . (b) Je»eli Xi, i = 1, . . . , k, maj¡ rozkªad Poissona P(λi), to Y ma rozkªad Poissona P( k i=1 λi) . (c) Je»eli Xi, i = 1, . . . , k, maj¡ rozkªad wykªadniczy E(λ), to Y ma rozkªad gamma G(k, λ). (d) Je»eli Xi, i = 1, . . . , k, maj¡ rozkªad Cauchy'ego C(αi, λi), to Y ma rozkªad Cauchy'ego C( k i=1 αi, k i=1 λi) . 2. Niech FX b¦dzie dystrybuant¡ zmiennej losowej X, a fX jej g¦sto±ci¡. Wyznaczy¢ dystrybuanty i g¦sto±ci nast¦puj¡cych zmiennych losowych: (a) aX + b, a = 0, (b) |X|, (c) X2, (d) √ X , P (X 0) = 1 , (e) sin(X). 3. Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie z ci¡gª¡ i ±ci±le rosn¡c¡ dystrybuant¡ F . Pokaza¢, »e zmienna losowa Y = F (X) na rozkªad jednostajny U(0, 1). 4. Niech U b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie jednostajnym U(0, 1) i niech F b¦dzie dystrybuant¡ pewnego rozkªadu. Oznaczmy F −1(t) = inf {x ∈ R; F (x) t}, 0 0, maj¡ rozkªad wykªadniczy E(ϑ). 6. Wykaza¢, »e je»eli zmienna losowa U ma rozkªad jednostajny U(0, 1), to zmienna losowa X = x0U−1/α ma rozkªad Pareto Pa(x0, α). 7. Wykaza¢, »e je»eli zmienna losowa X ma rozkªad normalny N (0, 1), zmienna losowa Y ma rozkªad χ2(n) i zmienne te s¡ niezale»ne, to zmienna losowa √ n X √ Y ma rozkªad t Studenta T (n). 8. Wykaza¢, »e je»eli zmienna losowa X ma rozkªad wykªadniczy E(λ), to zmienna losowa Y = X1/α, α 0, ma rozkªad Weibulla We(α, λ1/α). 9. Udowodni¢, »e je»eli zmienne losowe X1, . . . , Xn s¡ niezale»ne o jed- nakowym rozkªadzie wykªadniczym E(λ), to zmienna losowa T (X) = 2 λ n i=1 Xi ma rozkªad χ2(2n). 10. Wykaza¢, »e je»eli zmienna losowa X ma rozkªad Pareto Pa(x0, α), to zmienna losowa 1/X ma rozkªad pot¦gowy Po(1/x0, α), a zmienna losowa ln(X/x0) ma rozkªad wykªadniczy E(1/α). 11. Wykaza¢, »e je»eli X i Y s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie normalnym N (0, 1), to zmienna losowa X/Y ma rozkªad Cauchy'ego C(0, 1). 12. Niech X1, X2 b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)