To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Równania różniczkowe zwyczajne Definicja Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
,
w którym niewiadomą jest funkcja i w którym występuje pochodna rzędu n tej funkcji wraz z pochodnymi niższych rzędów.
Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego zwyczajnego w przedziale (a,b) nazywamy każdą funkcje zmiennej x wyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej
,
która spełnia równanie dla .
Definicja Wykres funkcji nazywamy krzywą całkową równania .
Definicja Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania zależne od n dowolnych stałych , wyrażone w postaci jawnej
lub w postaci uwikłanej
i takie, że podstawiając dowolne wartości za otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe.
Podstawiając za konkretne wartości otrzymamy tzw. całkę szczególną lub rozwiąz anie szcz egó lne równania .
Definicja Rozwiązanie osobliwe jest to rozwiązanie równania , którego nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez podstawienie za dowolnych wartości.
Zagad nieniem Cauchy'ego równania nazywamy zagadnienie znalezienia całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe:
gdzie nazywamy wartościami początkowymi . Przykład Znaleźć całkę szczególną równania spełniającą warunek początkowy: .
- jest rozwiązaniem szczególnym tego równania.
Interpretacja geometryczna równania różniczkowego rzędu pierwszego Rozważmy równanie różniczkowe, rzędu pierwszego
, gdzie .
Funkcja f przyporządkowuje każdemu punktowi kierunek stycznej do krzywej całkowej w punkcie . Izokliną równania nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny OXY , w których styczne do krzywych całkowych do tego równania mają jednakowy kierunek.
Ustalmy wartości pochodnej , gdzie m= const. Wtedy izoklina to zbiór:
Umowa Jeśli w równaniu różniczkowym rzędu pierwszego nie istnieje oraz , to punktowi przyporządkowujemy element równoległy do osi OY .
Natomiast jeśli w punkcie nie istnieją:
(…)
… i tylko te krzywe.
Podstawiając za konkretne wartości otrzymamy tzw. całkę szczególną lub rozwiązanie szczególne równania .
Definicja
Rozwiązanie osobliwe jest to rozwiązanie równania , którego nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez podstawienie za dowolnych wartości.
Zagadnieniem Cauchy'ego równania nazywamy zagadnienie znalezienia całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)