Równanie różniczkowe zwyczajne

Nasza ocena:

3
Pobrań: 119
Wyświetleń: 938
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Równanie różniczkowe zwyczajne  - strona 1 Równanie różniczkowe zwyczajne  - strona 2 Równanie różniczkowe zwyczajne  - strona 3

Fragment notatki:

Równania różniczkowe zwyczajne Definicja Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
,
w którym niewiadomą jest funkcja i w którym występuje pochodna rzędu n tej funkcji wraz z pochodnymi niższych rzędów.
Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego zwyczajnego w przedziale (a,b) nazywamy każdą funkcje zmiennej x wyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej
,
która spełnia równanie dla .
Definicja Wykres funkcji nazywamy krzywą całkową równania .
Definicja Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania zależne od n dowolnych stałych , wyrażone w postaci jawnej
lub w postaci uwikłanej
i takie, że podstawiając dowolne wartości za otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe.
Podstawiając za konkretne wartości otrzymamy tzw. całkę szczególną lub rozwiąz anie szcz egó lne równania .
Definicja Rozwiązanie osobliwe jest to rozwiązanie równania , którego nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez podstawienie za dowolnych wartości.
Zagad nieniem Cauchy'ego równania nazywamy zagadnienie znalezienia całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe:
gdzie nazywamy wartościami początkowymi . Przykład Znaleźć całkę szczególną równania spełniającą warunek początkowy: .
- jest rozwiązaniem szczególnym tego równania.
Interpretacja geometryczna równania różniczkowego rzędu pierwszego Rozważmy równanie różniczkowe, rzędu pierwszego
, gdzie .
Funkcja f przyporządkowuje każdemu punktowi kierunek stycznej do krzywej całkowej w punkcie . Izokliną równania nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny OXY , w których styczne do krzywych całkowych do tego równania mają jednakowy kierunek.
Ustalmy wartości pochodnej , gdzie m= const. Wtedy izoklina to zbiór:
Umowa Jeśli w równaniu różniczkowym rzędu pierwszego nie istnieje oraz , to punktowi przyporządkowujemy element równoległy do osi OY .
Natomiast jeśli w punkcie nie istnieją:

(…)

… i tylko te krzywe.
Podstawiając za konkretne wartości otrzymamy tzw. całkę szczególną lub rozwiązanie szczególne równania .
Definicja
Rozwiązanie osobliwe jest to rozwiązanie równania , którego nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez podstawienie za dowolnych wartości.
Zagadnieniem Cauchy'ego równania nazywamy zagadnienie znalezienia całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz