Równania różniczkowe rzędu pierwszego-opracowanie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 455
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Równania różniczkowe rzędu pierwszego-opracowanie - strona 1

Fragment notatki:

Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Równania różniczkowe I rzędu.
1
Równania różniczkowe rzędu pierwszego
• Równanie o zmiennych rozdzielonych:
dy
f (x)
=
. Rozwiązaniem jest
dx
g(y)
g(y) dy =
f (x) dx + C
dy
y
• Równanie jednorodne (względem x i y) :
=f
. Równanie to można za pomocą podstawdx
x
y
ienia u(x) =
sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych (wtedy y = ux, y = u x + u).
x
dy
Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego:
= p(x)y + q(x). Rozwiązujemy najpierw równanie
dx
dy
liniowe jednorodne czyli
+ p(x)y = 0 – jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Rozwiązanie
dx
otrzymujemy w postaci y(x) = Ce p(x)dx = Cy1 (x), z pewną ustaloną funkcją y1 (x). Następnie
uzmienniamy stałą C, tzn. zakładamy, że rozwiązaniem równania niejednorodnego jest funkcja postaci:
y(x) = C(x)y1 (x), z pewną nową funkcją niewiadomą C(x). Podstawiamy y(x) do rozwiązywanego
równania i znajdujemy funkcję C(x).
dy
= p(x)y + q(x)y α (gdzie α = 0, 1, bo dla α = 0 mamy
dx
równanie liniowe, a dla α = 1 — równanie o zmiennych rozdzielonych.) Za pomocą podstawienia
z(x) = y 1−α sprowadzamy to równanie do równania liniowego.
• Równanie różniczkowe Bernoulliego:
1. Rozwiązać równania o zmiennych rozdzielonych:
a)
dy
= e2x+y
dx
b) xy + y = y 2
d) x2 (y + 1)3 dx = (1 + x)3 y 3 dy
e)
dy
= xy 2 + x
dx
c) 2x
1 − y 2 dx + y dy = 0
f ) (y 2 + xy 2 )dx + (x2 − x2 y)dy = 0
2. Rozwiązać równania jednorodne względem x i y :
a)
dy
x2 + y 2
=
dx
xy
b)
d) (y 2 − 3x2 )dy + 2xy dx = 0
dy
x+y
=
dx
3x − y
e) y − xy = x + yy
c) y 2 + x2 y = xyy
f ) (x2 + 2xy − y 2 ) + (y 2 + 2xy − x2 )y = 0
3. Rozwiązać równania liniowe:
a)
dy
− y tg x = 2 sin x
dx
b) y +
d) y − 2xy = 2x3
y
= x2
x
c) y + 2xy = e−x
2
e) y + y cos x = sin x cos x
f ) y − ex y = e2x
a) xy + xy 2 − y = 0
b) y + xy = xy −3
c)

dy
y
3 x
d)
+ = 2
dx x
y
y

2
e) √ + 4x y = 2xe−x
y
f ) y − 9x2 y = (x5 + x2 )y 3
g) y +
1 − 2x
y = 1,
x2
y(1) = 1+e
4. Rozwiązać równania Bernoulliego:
2
g) y − 9x2 y = 3(x5 − x2 )y 3
dy 2
x
+ y=√
dx 3
y
2
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz