To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1. Równania różniczkowe
Chemia, II semestr
1
Równania różniczkowe rzędu pierwszego
• Równanie o zmiennych rozdzielonych:
dy
f (x)
=
. Rozwiązaniem jest
dx
g(y)
g(y) dy =
f (x) dx + C
dy
y
• Równanie jednorodne (względem x i y) :
=f
. Równanie to można za pomocą podstawdx
x
y
ienia u(x) =
sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych (wtedy y = ux, y = u x + u).
x
dy
• Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego:
= p(x)y + q(x). Rozwiązujemy najpierw równanie
dx
dy
liniowe jednorodne czyli
+ p(x)y = 0 – jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Rozwiązanie
dx
otrzymujemy w postaci y(x) = Ce p(x)dx = Cy1 (x), z pewną ustaloną funkcją y1 (x). Następnie
uzmienniamy stałą C, tzn. zakładamy, że rozwiązaniem równania niejednorodnego jest funkcja postaci:
y(x) = C(x)y1 (x), z pewną nową funkcją niewiadomą C(x). Podstawiamy y(x) do rozwiązywanego
równania i znajdujemy funkcję C(x).
dy
= p(x)y + q(x)y α (gdzie α = 0, 1, bo dla α = 0 mamy
dx
równanie liniowe, a dla α = 1 — równanie o zmiennych rozdzielonych.) Za pomocą podstawienia
z(x) = y 1−α sprowadzamy to równanie do równania liniowego.
• Równanie różniczkowe Bernoulliego:
• Równanie różniczkowe zupełne: równanie postaci P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 , gdzie
∂Q
∂P
=
.
∂y
∂x
∂F
∂F
dx +
dy
pewnej funkcji F (x, y),
∂x
∂y
∂F
∂F
czyli równanie przybiera postać dF = 0, gdzie
= P (x, y) i
= Q(x, y), a więc jego
∂x
∂y
rozwiązaniem jest rodzina wszystkich krzywych F (x, y) = C.
Wtedy lewa strona równania jest różniczką zupełną
dF =
• Jeżeli P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 nie jest równaniem zupełnym, ale po pomnożeniu przez µ(x, y)
powstałe równanie µ(x, y)P (x, y)dx+µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 jest równaniem zupełnym, to funkcję µ(x, y)
nazywamy czynnikiem całkującym lub mnożnikiem całkującym dla tego równania.
1 ∂P
∂Q
Jeśli funkcja
−
zależy tylko od zmiennej x (nie zależy od y), to równanie ma czynnik
Q ∂y
∂x
całkujący µ, będący funkcją zmiennej x. Wtedy µ(x) = e
Jeśli funkcja
1
P
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
1
Q
∂P ∂Q
∂y − ∂x dx
.
zależy tylko od zmiennej y (nie zależy od x), to równanie ma czynnik
całkujący µ, będący funkcją zmiennej y. Wtedy µ(y) = e
1
P
∂Q ∂P
∂x − ∂y
dy
Zadania
1. Rozwiązać równania o zmiennych rozdzielonych:
a)
dy
= e2x+y
dx
d) x2 (y + 1)3 dx = (1 + x)3 y 3 dy
b) xy + y = y 2
e)
dy
= xy 2 + x
dx
c) 2x 1 − y 2 dx + y dy = 0
f ) (y 2 + xy 2 )dx + (x2 − x2 y)dy = 0
1. Równania różniczkowe
Chemia, II semestr
2
2. Rozwiązać równania jednorodne względem x i y :
a)
dy
x2 + y 2
=
dx
xy
b)
d) (y 2 − 3x2 )dy + 2xy dx = 0
dy
x+y
=
dx
3x − y
c) y 2 + x2 y = xyy
f ) (x2 + 2xy − y 2 ) + (y 2 + 2xy − x2 )y = 0
e) y − xy = x + yy
3. Rozwiązać równania liniowe:
a)
dy
− y tg x = 2 sin x
dx
b) y +
d) y − 2xy = 2x3
y
= x2
x
c) y + 2xy = e−x
2
e) y + y cos x = sin x cos x
f ) y − ex y = e2x
a) xy + xy 2 − y = 0
b) y + xy = xy −3
c)
√
dy
y
3 x
d)
+ = 2
dx x
y
y
√
2
e) √ + 4x y = 2xe−x
y
f ) y − 9x2 y = (x5 + x2 )y 3
g) y +
1 − 2x
y = 1,
x2
y(1) = 1+e
4. Rozwiązać równania
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)