Równania różniczkowe rzędu II i wyższe - omówienie

Równania różniczkowe rzędu II i wyższe
F (x, y, y', y”) = 0 F (x, y, y', y”, ..., y(n)) = 0
y” = f (x, y, y') y(n) = f (x, y, y', y”, ..., y(n-1))
Def. Mówimy, że funkcja Lipschiza ze stałą L (ze względu na zmienne (y1, y2, ...,yn)) w obszarze D, jeżeli dla każdych 2 punktów (x, y1, y2, ...,yn), Tw. (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania (1))
Jeżeli funkcja f jest funkcją ciągłą w obszarze i spełnia warunek Lipschiza ze stałą L to dla każdego układu (n+1) liczb (x0, y0, y0', ..., y0(n+1)) istnieje dokładnie jedno rozwiązanie (1) spełniające warunki :
y (x0) = y0 , y' (x0) = y'0 , ... , y(n-1) (x0) = y0n-1.
Dla równań wyższych rzędów, oprócz zagadnienia Cauchy'ego możemy rozważać zagadnienie brzegowe.
Def. Zagadnienie brzegowe dla równań różniczkowych polega na znalezieniu rozwiązania y 0 zaś m jest tzw. stopniem jednorodności funkcji F, możemy poprzez podstawienie do równania rzędu pierwszego Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego y” + p1 (x) y' + p0 (x) y = f (x) (*)
gdzie p1, p0, f (funkcje rzeczywiste) są funkcjami ciągłymi w nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego.
Uwaga: dla równania (*) spełnione są założenia tw. o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań.
Jeżeli f (x) = 0 w , to równanie (**)
y” + p1 (x) y' + p0 (x) y = 0 (**) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym.
Własność 1: Jeżeli y1 (x), y2 (x) są całkami równania (**) w , to funkcja y (x) = C1y1 (x) + C2y2 (x) gdzie C1 i C2 są dowolnymi stałymi jest też rozwiązaniem równania (**).
Def. Mówimy, że funkcje y1 (x), y2 (x) określone w są liniowo zależne, jeżeli istnieją stałe C1 i C2 nie zerujące się jednocześnie, takie że: C1y1 (x) + C2y2 (x) = 0 ... zobacz całą notatkę