Reprezentacja macierzowa równania liniowego

W pliku podane są liczne równania, twierdzenie Kroneckera – Capellego, twierdzenie Cramera, macierz przejścia oraz zadania.

Notatka składa się głównie z wzorów.

REPREZENTACJA MACIERZOWA RÓWNANIA LINIOWEGO
Mamy równanie h(x)=b; h jest odwzorowaniem liniowym, dimE=n; h:E→F; b∈F. Jeżeli wybierzemy bazy w E,F to wektorom x,b oraz przekształceniu h można przyporządkować macierze:
M(x)=[x1,x2,...,xn]T=Xnx1
M(b)=[b1,b2,...,bm]T=bmx1
M(h)=[aij]mxn=Amxn
Równaniu liniowemu h(x)=b odpowiada wtedy równanie macierzowe:
Amxnxnx1`=bmx1 lub zapisując Ax=b
Jest to postać macierzowa równania liniowego. Macierz A nazywamy macierzą tego układu.
Definicja.
Rzędem macierzy M(h) nazywamy rząd przekształcenia liniowego h. Czyli: rgM(h)=rgh.
Zauważmy, że równanie:
jest równoważne układowi równań:
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2
......................................
am1x1+am2x2+...+amnxn=bm
Układ równań liniowych Ax=b ma co najmniej jedno rozwiązanie, gdy wektor b jest kombinacją liniową wektorów - kolumn macierzy A. a1 = [a11 a21 ... am1]T, a2 = [a12 a22 ... am2]T,
...
an = [a1n a2n ... amn]T wówczas: span {a1, a2, ..., an} = span{a1, a2, ..., an,b} lub inaczej : rgA = rgAu
Twierdzenie Kroneckera - Capellego:
Układ równań liniowych ma co najmniej jedno rozwiązanie WTW rząd macierzy tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej
RgA = rg Au
Definicja
Jeżeli h-1 jest przekształceniem odwrotnym do odwzorowania liniowego h, to macierz M(h-1) nazywamy macierzą odwrotną do macierzy M(h).
M(h) M(h-1) = [M(h)]-1 M(h) = M(idE) = I
Definicja Gdy detA ≠0, m=n dla układu Ax = b to nazywamy ten układ układem Cramera.
Twierdzenie Cramera:
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem:
Gdzie macierz Ak powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej kolumny wektorem [b1, b2, ..., bm]T
Uwaga 1.
Gdy n = m i detA = 0 oraz istnieje takie k, że detAk ≠0 to układ równań jest sprzeczny.
Jeżeli dla każdego k detA=detAk=0 to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub nie ma ich wcale.
Przykład 1
Rozwiązać układ równań:
w = detA, wk=detAk
czyli: x1= -1,x2=0, x3=1
Rozwiązanie układu Cramera można również wyznaczyć z przekształcenia równania macierzowego Ax = b, wówczas x = A-1b Przykład 2
Macierz: czyli x1=-1, x2=0, x3=1.
Przykład 3 (do twierdzenia Kroneckera-Capellego)
Rozwiązać układ równań:
rgA = rgAu=2 to układ nie jest sprzeczny
stąd układ - parametr
Układ jest równoważny układowi *
... zobacz całą notatkę