To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Układ równań - o niewiadomych x1, x2,…,xn nazywamy liniowym jeżeli można go zapisać w postaci: | a1,1*x1 + a1,2*x2+…+ a1,n*xn=b1 |
| ……………………………... | Ax=b
| am1*x1+ am2*x2+…+amn*xn=bm |
Rozwiązaniem układu równań nazywać będziemy układ liczb x1..xn spełniający każde równanie Lub
Rozwiązaniem układu równań jest wektor X=[x1…xn]T , którego składowe spełniają równanie:
X={x: x€Rn i Ax=b}
TW. Croneckera-Capelli'ego - układ równań liniowych Ax=b ; Amxn, bmx1, x€ Rn posiada rozwiązanierzA=rz[A|b]
Z: rzA≠rz[A|b] T: układ równań Ax=b jest sprzeczny
Z: rzA=rz[A|b]=n T: układ oznaczony
Z: rzA=rz[A|b]=r
(…)
…. Croneckera-Capelli'ego - układ równań liniowych Ax=b ; Amxn, bmx1, x€ Rn posiada rozwiązanierzA=rz[A|b]
Z: rzA≠rz[A|b] T: układ równań Ax=b jest sprzeczny
Z: rzA=rz[A|b]=n T: układ oznaczony
Z: rzA=rz[A|b]=r<n T: układ nieoznaczony
TW. Cramera - układ n równań liniowych o n niewiadomych Ax=b nazywamy układem równań Cramera detA≠0.
Układ Crameta ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem:
detAk
xk= ----------- ; dla k=1,2,…,n ; k-ilość rozwiązań układu
detA
Jednorodny układ równań - układ postaci Ax=Ø gdzie A=a[i,j]mxn, x€Rn , Ø€Rm. Własności:
Układ jednorodny posiada zawsze rozwiązanie, bo rzA=[A| Ø]
rzA=n (detA≠0) to układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim wektor zerowy!
rzA=r<n (det=0) posiada rozwiązanie niezerowe
Nieoznaczony układ równań w warunkiem brzegowym - Ax=b i xj≥0. Zbiór rozwiązań takiego układu może być:
zbiorem pustym
zbiorem jednoelementowym
wielościanem wypukłym (wierzchołki tego wielościany wyznaczają rozwiązania bazowe układu równań o niezmiennych składowych α1+…+αn=1 i αn≥0)
nieograniczonym wielościennym zbiorem wypukłym (jeżeli w każdym rozwiązaniu bazowym, w każdym wektorze niegazowym występuje przynajmniej jedna współrzędna ujemna).
Układ nierówności liniowych - nierówność postaci:
a1*x1 +…+ an*xn <(≤) b1 lub w postaci macierzowej: Ax≤(<)b Rozwiązaniem nierówności liniowej nazywamy układ liczb x1…xn spełniający tę nierówność lub każdy wektor X=[x1…xn]T, którego składowe spełniają nierówność.
Jeżeli zbiór X rozwiązań układu nierówność jest zbiorem pustym, to układ jest sprzeczny (niezgodny).
Jeżeli zbiór X rozwiązań układu nierówności zawiera przynajmniej 2 elementy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)