Rachunek zdań Wiadomości wstępne Współczesna logika formalna obejmuje dwa podstawowe działy, a mianowicie rachunek zdań i rachunek predykatów. Rachunek zdań jest najogólniejszą teorią logiki formalnej. Zamiast „rachunek zdań” mówi się czasem „teoria zdań”, albo wprost „logika zdań” (w naszym wykładzie będziemy tych wyrażeń używać zamiennie). W ramach rachunku zdań logika formułuje najogólniejsze prawa, jakie zachodzą między zdaniami logicznymi i ich związkami. Te prawa, wraz z pozostałymi prawami formułowanymi w następnych działach logiki, podają warunki poprawności, jakie winny spełniać nasze rozumowania, jeśli zależy nam na ich poprawności. Innymi słowy mówiąc: stanowią coś w rodzaju kryterium poprawności naszego myślenia. Na początku naszego wykładu zwrócimy po raz wtóry uwagę na język, w którym zostały sformułowane prawa rachunku zdań. Już wiemy, że jest to język symboliczny, stworzony specjalnie dla potrzeb tego rachunku. Prawa rachunku zdań wyrażone są za pomocą pewnych formuł, czyli wzorów. Są one podobne do tych, które są nam doskonale znane z matematyki i geometrii, przeto ich opanowanie i zrozumienie na ogół nie nastręcza większych trudności. Ponieważ już wcześniej poznaliśmy podstawowe symbole rachunku zdań (a zarazem najczęściej wykorzystywane w tym rachunku), jak również samą budowę zdań prostych i elementarnych zdań złożonych, przeto nie będziemy się dłużej zatrzymywać na kwestiach związanych z symboliką i strukturą tychże zdań, a przejdziemy do następnych zagadnień, które zwykle omawia się na początku wykładu logiki zdań. Wykorzystamy jedynie wspomniane podobieństwo formuł matematycznych i logicznych, by pokazać swego rodzaju zwyczajność symboliki rachunku zdań. Weźmy jakikolwiek wzór matematyczny, np. następujący: x (y z) x y x z
Zauważmy, że w tym wzorze występują pewne symbole stałe i zmienne. Kropka „” symbolizuje mnożenie, znak „” dodawanie, znak „” równość. Można je uznać za coś w rodzaju funktorów matematycznych, które ustalają relacje między zmiennymi (i liczbami). Litery (x, y z), z kolei, pełnią tu funkcję zmiennych, za które możemy podstawić dowolne liczby (dlatego nazywamy je właśnie „zmiennymi”). Podobnie funkcjonują symbole w formułach, czyli wzorach, rachunku zdań w logice formalnej. Jedne z nich pełnią tu rolę stałych, inne - rolę zmiennych zdaniowych, za które można podstawiać zdania, a nawet całe formuły zdaniowe. Wzór z rachunku zdań, podobny do tego matematycznego, mógłby mieć na przykład taką oto postać: p (q r) (p q) (p r)
Pomijamy w tej chwili kwestię poprawności podanego wzoru (jest on, zresztą, poprawny i przedstawia jedno z praw logiki zdań). Zwróćmy uwagę tylko na symbole. Litery (p, q, r), podobnie jak we wzorach matematycznych, pełnią tu funkcję zmiennych, a ściślej zmiennych zdaniowych. Można za nie podstawiać różne zdania logiczne. Dlatego powiada się o nich, że zastępują zdania (zarówno proste, jak i złożone). Pozostałe znaki (, , ) - to znane nam już funktory zdaniotwórcze (dokładniej: funktory zdaniotwórcze od zdań
(…)
… samej wartości logicznej. Podane formuły (implikacji, alternatywy, koniunkcji, dysjunkcji, równoważności) stanowią najprostsze przykłady niezawodnych schematów zdań. Z nich tworzy się dalsze i bardziej złożone formuły prawdziwościowe, czyli schematy rachunku zdań. Niebawem pokażemy te złożone formuły i poznamy metody sprawdzania ich poprawności, ale zanim to uczynimy, zajmiemy…
… sobie jeszcze bardzo ważną regułę obowiązującą w logice. Otóż zdania logiczne posiadają zawsze określoną wartość logiczną, tzn. są fałszywe lub prawdziwe. Logiczna prawdziwość zdania logicznego nie zależy od znaczenia występujących w nich wyrażeń pozalogicznych, a jedynie od jego struktury syntaktycznej, czyli inaczej mówiąc od ich budowy, czyli formy. Zdania logiczne mają postać mniej lub bardziej złożonych formuł…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)