Rachunek wektorowy

Ćwiczenia 1 Rachunek wektorowy 1. Wykazać, że: rot   a x   r =2  a gdzie   a  -wektor stały  r  -wektor położenia o współrzędnych (x,y,z) 2. obliczyć: grad   1 ∣ r ∣  gdzie |r| jest długością wektora położenia o współrzędnych (x,y,z). Zadanie rozwiąż we współrzędnych prostokątnych i biegunowych. 3. udowodnij że: gradient jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej. Innymi słowy  wykaż, że   grad  ⊥= const 4. udowodnij następujące tożsamości: ● grad    PF  = Pgrad    F    Fgrad    P  ● div    P   A =  P div    A  A grad    P  ● rot    P   A = P rot    A − A × grad    P   ● div    A ×  B = B rot    A −  A rot    B  ● ∇⋅ ∇× A =0 ● rot    grad    A =0 ● div    A ×  B = B rot    A −  A rot    B  5. Znaleźć funkcję  (r) spełniającą równanie:   div  [ r ⋅ r ]=0 6. Rozwinąć operator dywergencji  we współrzędnych biegunowych (tylko przypadek  dwuwymiarowy). 7. Czy pole wektorowe opisane równaniem   A =−  y 2−2xz  x  2yz−2xy   y   y 2−  x 2  z posiada potencjał skalarny? Jeśli tak to należy go wyznaczyć. 8. Obliczyć strumień wektora położenia   r  przez powierzchnię, umieszczonego pionowo w  środku układu współrzędnych, walca kołowego o promieniu r0 i wysokości h.  9. Zamień całkę objętościową  ∫ V grad    rot    A  dv   na całkę powierzchniową ... zobacz całą notatkę