Opracowanie zagadnień na egzamin - rachunek operatorowy

Nasza ocena:

3
Pobrań: 252
Wyświetleń: 1890
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Opracowanie zagadnień na egzamin - rachunek operatorowy - strona 1 Opracowanie zagadnień na egzamin - rachunek operatorowy - strona 2 Opracowanie zagadnień na egzamin - rachunek operatorowy - strona 3

Fragment notatki:

Rzepkoteka 2011 v1.3
1. Podstawy rachunku operatorowego. Definicje i sposoby liczenia: rotacji, dywergencji,
gradientu, laplasjanu skalarnego i wektorowego. Wymienić najważniejsze tożsamości
rachunku operatorowego.
Rotacja- operacja różniczkowa, która w danemu polu wektorowemu przyporządkuje nowe pole
wektorowe. Służy do sprawdzania czy w danym polu wektorowym występują wiry pola.
E dl
∮
rot = lim
E
 S 0  S
∣ ∣

i

rot   × 
E=  E=
x
Ex

j

y
Ey

k

z
Ez
Dywergencja- operacje matematyczne na zadanym polu wektorowym, które przypisują temu polu
pewne pole skalarne. Służy do sprawdzenia, czy w danym fragmencie przestrzeni znajduje się
źródło pola.
E dl
∮ 

div E = lim
ΔV
ΔS 0
∂Ex ∂Ey ∂Ez
  E
div E =∇⋅ =


∂y
∂y
∂z
Gradient pola- pewnemu polu skalarnemu przyporządkowuje pole wektorowe.
∂  ∂  ∂  
grad  x , y , z =    x , y , z =

i
j
k
∂x
∂y
∂z
Laplasjan skalarny- operacja różniczkowa II rzędu, która danemu polu skalarnemu
przyporządkowuje nowe pole skalarne.
∂2   ∂2   ∂2  
2
Δ= ∇ =
i  2 j 2 k (def.)
∂ x2
∂y
∂z
Laplasjan wektorowy- operacja różniczkowa II rzędu, która danemu polu skalarnemu
przyporządkowuje nowe pole wektorowe.
∂2  ∂ 2  ∂ 2  
∂ 2  ∂2  ∂2 
∂2 
∂2  ∂2 
Δ E  x, y , z =
 2  2  i   2  2  2    2  2  2 
j
i
k
∂x2
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
Podstawowe tożsamości:
  A
  A
∇⋅ ∇ ×  = ∇  ∇  
  A
∇⋅ ∇ ×  ≡0
 
∇⋅∇⋅ f −∇ 2 f = Δ f

∇ 2× ∇ f = 0
 S
 v
∮ E d  = ∫ div E d 
S
v
 l
E d  = ∫ rot  d 
E S

l
S
( rotacja rotacji)
( dywengencja rotacji)
( dywengencja gradientu)
(rotacja gradientu)
(Ostrogradskiego-Gaussa)
(Stokes`a)
2. Pole elektrostatyczne. Prawo Coulomba. Definicja natężenia pola elektrycznego. Potencjałsposoby liczenia. Napięcie i związek z potencjałem. Prawo Gaussa, równanie Poissona i
Laplace'a. Potencjał, a natężenie pola.
Pole elektrostatyczne- to przestrzeń wokół nieruchomych ładunków lub ciał naelektryzowanych, w
której na ładunki elektryczne działają siły. ( praca: = F⋅L )
Prawo Coulomba (1785):
q 1⋅q 2
1
 [N]
r
4 0 ∣∣3
r
r
 - wektor wodzący
F
ε0= 8,85⋅10−12
m
q 1 i q 2 - ładunki elektryczne
F 12=
[ ]
Natężenie pola elektromagnetycznego:

F q  x 0 , y 0, z 0 
q0
E  x y , z =
,
0
[ ]
V
m
q 0 0 ładunek próbny
q 00 ładunek dodatni
Potencjał- miara pracy, potrzebna do przesunięcia ładunku q0 od punktu P0 do P.
P
 p= −∫  d 
E l

1
q
 p=

4  0
r
r- odległość od ładunku q do P
Sposoby liczenia:
1
4  0
1
b)  p=
4  0
1
c) Φ p= 4 πε
0
1
d)  p=
4  0
a)  p=
N

i=1


S

V
qi
ri

dl
r
ζ
dS
r
V dV
r
Napięcie elektryczne:
2
U 12=

 d  [V]
E l
1
U 12= 1− 2
(wartość napięcia nie zależy od drogi całkowania)
Prawo Gaussa:
 S
∮ E d =
S
∑q
0
Równanie Poissona:
V
a) Δ=
0

b) postać różniczkowa: div E =
V
0
V
 
∇⋅E =
0
c) Rozwiązanie równania Poissona:
 x , y , z =
1
4  0

V
V
dV e
T
Równanie Laplace`a:
∇ 2 =0
 =0
Potencjał, a natężenie pola ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz