Rachunek prawdopodobieństwa - zadania do rozwiązania

Nasza ocena:

3
Pobrań: 119
Wyświetleń: 1022
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Rachunek prawdopodobieństwa - zadania do rozwiązania - strona 1 Rachunek prawdopodobieństwa - zadania do rozwiązania - strona 2 Rachunek prawdopodobieństwa - zadania do rozwiązania - strona 3

Fragment notatki:

Rachunek Prawdopodobieństwa
Zestaw nr3. Zadanie 3.1. Obliczyć A i B, aby funkcja F(x) była dystrybuantą ciągłej zmiennej losowej X:
Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Wykreślić funkcje F(x) i f(x). Obliczyć prawdopodobieństwo przyjmowania przez zmienną losową X wartości z przedziału (0, ).
Rozwiązanie
Na wstępie przypomnę co to jest dystrybuanta. A mianowicie Dystrybuantą mówi nam jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od x:
Dystrybuanta ma następujące własności (więc badana zadana funkcja też musi je mieć):
1. , jak widać nasza funkcja spełnia ten warunek. 2. , ten warunek też jest spełniony.
3. Funkcja musi być niemalejąca.
Aby nasz funkcja była niemalejąca musi być spełniona nierówność: na przedziale (-1,1)
Wiemy, że funkcja arcsin(x) jest rosnąca, więc B0, w przeciwnym przypadku funkcja byłaby malejąca i nie spełniałaby warunków. Tworzymy układ równań:
= = 3 Dystrybuanta jest funkcją lewostronnie ciągłą. W naszym wypadku funkcja musi spełniać następujący warunek:
, więc = Aby była dystrybuantą ciągłej zmiennej losowej, to też musi być ciągła, więc: = Biorąc pod uwagę ten i poprzedni warunek otrzymujemy układ równań: = Co daje ostateczny wynik:
Kolejnym krokiem w zadaniu jest wyliczenie gęstości prawdopodobieństwa. Liczymy ją zgodnie za wzorem:
, o ile istnieje liczona różniczka. Wiemy, że nasza funkcja jest ciągła, więc posiada ona pochodną. Obliczeń dokonujemy na przedziałach:
1 2 , nie trzeba tu dodatkowych
założeń dla x ponieważ przedział dla niego jest odpowiedni.
3 Ostatecznie otrzymujemy:
Ostatnim punktem zadania jest wyliczenie poniższego prawdopodobieństwa:


(…)

…(x) zmiennej losowej X - wykres:
Zadanie 3.5. Zmienna losowa X ma dystrybuantę F(x) daną wzorem:
Wyznaczyć dystrybuantę F(x) zmiennej losowej X oraz podać wykres. Obliczyć .
Rozwiązanie:
Wykres F(x):
Korzystając ze wzoru:
- Dla - Dla - Dla - Dla - Dla Gęstość f(x):
Zadanie 3.6. Mamy dystrybuantę zmiennej losowej X
Z zależności:
wiemy, że:
Z powyższych odczytujemy histogram funkcji rozkładu prawdopodobieństwa:
I sporządzamy odpowiedni wykres P(X<x) jako funkcji zmiennej x:
Zadanie 3.7. Na zbiorze liczb rzeczywistych określamy funkcję gęstości w sposób następujący: Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X i narysować jej wykres. Wiemy, że:
Wystarczy policzyć całki na wszystkich przedziałach:
1 2 3 Ostateczny wynik to:
Wykres, dla powyższej funkcji …
…(x) zmiennej losowej X - wykres:
Zadanie 3.5. Zmienna losowa X ma dystrybuantę F(x) daną wzorem:
Wyznaczyć dystrybuantę F(x) zmiennej losowej X oraz podać wykres. Obliczyć .
Rozwiązanie:
Wykres F(x):
Korzystając ze wzoru:
- Dla - Dla - Dla - Dla - Dla Gęstość f(x):
Zadanie 3.6. Mamy dystrybuantę zmiennej losowej X
Z zależności:
wiemy, że:
Z powyższych odczytujemy histogram funkcji rozkładu prawdopodobieństwa:
I sporządzamy odpowiedni wykres P(X<x) jako funkcji zmiennej x:
Zadanie 3.7. Na zbiorze liczb rzeczywistych określamy funkcję gęstości w sposób następujący: Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X i narysować jej wykres. Wiemy, że:
Wystarczy policzyć całki na wszystkich przedziałach:
1 2 3 Ostateczny wynik to:
Wykres, dla powyższej funkcji …
…(x) zmiennej losowej X - wykres:
Zadanie 3.5. Zmienna losowa X ma dystrybuantę F(x) daną wzorem:
Wyznaczyć dystrybuantę F(x) zmiennej losowej X oraz podać wykres. Obliczyć .
Rozwiązanie:
Wykres F(x):
Korzystając ze wzoru:
- Dla - Dla - Dla - Dla - Dla Gęstość f(x):
Zadanie 3.6. Mamy dystrybuantę zmiennej losowej X
Z zależności:
wiemy, że:
Z powyższych odczytujemy histogram funkcji rozkładu
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz