Pytania na zaliczenie algebra cz 6

Nasza ocena:

5
Pobrań: 147
Wyświetleń: 1778
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pytania na zaliczenie algebra cz 6 - strona 1 Pytania na zaliczenie algebra cz 6 - strona 2

Fragment notatki:

Cichacz. Notatka składa się z 2 stron.
Zestaw 6 Działanie grupy na zbiór , lemat Burnside’a 1. Sprawdzić, czy przyporządkowanie  φt (( a, b )) = ( a  +  t, b  +  t ) określa działanie grupy  G  =  R  w zbiorze  R 2. Jeśli tak, to wyznacz orbity i stabilizatory względem tego działania. 2. Sprawdzić, że przyporządkowanie każdej liczbie  k ∈  Z ∗ 8 funkcji  φ  :  Z 8  → Z 8 za pomocą wzoru  φk ( a ) =  k · 8  a  określa działanie w zbiorze  Z 8. Wyznacz orbity i stabilizatory punktów przy tym działaniu. 3. Niech  G  = ⟨τ⟩ , gdzie  τ  = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 9 3 5 8 6 2 1 7 ) ∈ S 9. Dzia- łanie grupy  G  w zbiorze  Z  = { 1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6 ,  7 ,  8 ,  9 }  określamy przypo- rządkowując każdemu  σ ∈ G  funkcję  σ . Wyznaczyć orbity elementów zbioru  Z  oraz punkty stałe względem działania grupy  G . 4. Niech  Dn  będzie grupą izometrii własnych wypukłego  n -kąta foremne- go. Udowodnij, że |Dn|  = 2 n . 5. Udowodnij, że rząd grupy obrotów czworościanu to 12. 6. Udowodnij, że rząd grupy obrotów sześcianu to 24. 7. Udowodnij indukcyjnie, że |An|  = 1 2  n !. 8. Ile jest różnych dwukolorowych naszyjników o sześciu koralikach, które są: - różne ze względu na obroty naszyjnika - różne ze względu na wszystkie izometrie. 9. Na ile sposobów można położyć 4 wieże na szachownicy 4 ×  4 tak, aby żadne dwie się nie szachowały. 10. Ile istotnie różnych naszyjników złożonych z dwóch koralików czerwo- nych, czterech białych i jednego czarnego można utworzyć, jeśli wszyst- kie koraliki muszą być wykorzystane? Dwa naszyjniki uważamy za takie same, jeśli jeden z nich powstaje z drugiego przez dowolne przekształ- cenie izometryczne. 11. Ile istotnie różnych naszyjników złożonych z 8 koralików można utwo- rzyć, jeśli koraliki są tylko białe i czarne oraz w naszyjniku powinno być więcej koralików białych niż czarnych. 12. Długie przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na sześć trójkątów. Każdy z trójkątów kolorujemy na niebiesko, czerwono lub zielono. Ile jest różnych pokolorowań które są: 1 - różne ze względu na obroty sześciokąta - różne ze względu na wszystkie izometrie. 13. Kolorujemy koła figury (łącznie ze środkiem) z rysunku  ??  kolorami białym i czarnym. Stosując lemat Bernside’a odpowiedz, ile jest różnych pokolorowań (ze względu na obroty), w których biały kolor użyty jest 9 razy, zaś czarny 4? 14. Kolorujemy kwiatek o sześciu płatkach (łącznie ze środkiem) kolorami białym i czarnym (rys. 1). Odpowiedz ile jest różnych pokolorowań (ze ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz