To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Cichacz. Notatka składa się z 2 stron.
Zestaw 6 Działanie grupy na zbiór , lemat Burnside’a 1. Sprawdzić, czy przyporządkowanie φt (( a, b )) = ( a + t, b + t ) określa działanie grupy G = R w zbiorze R 2. Jeśli tak, to wyznacz orbity i stabilizatory względem tego działania. 2. Sprawdzić, że przyporządkowanie każdej liczbie k ∈ Z ∗ 8 funkcji φ : Z 8 → Z 8 za pomocą wzoru φk ( a ) = k · 8 a określa działanie w zbiorze Z 8. Wyznacz orbity i stabilizatory punktów przy tym działaniu. 3. Niech G = ⟨τ⟩ , gdzie τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 9 3 5 8 6 2 1 7 ) ∈ S 9. Dzia- łanie grupy G w zbiorze Z = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } określamy przypo- rządkowując każdemu σ ∈ G funkcję σ . Wyznaczyć orbity elementów zbioru Z oraz punkty stałe względem działania grupy G . 4. Niech Dn będzie grupą izometrii własnych wypukłego n -kąta foremne- go. Udowodnij, że |Dn| = 2 n . 5. Udowodnij, że rząd grupy obrotów czworościanu to 12. 6. Udowodnij, że rząd grupy obrotów sześcianu to 24. 7. Udowodnij indukcyjnie, że |An| = 1 2 n !. 8. Ile jest różnych dwukolorowych naszyjników o sześciu koralikach, które są: - różne ze względu na obroty naszyjnika - różne ze względu na wszystkie izometrie. 9. Na ile sposobów można położyć 4 wieże na szachownicy 4 × 4 tak, aby żadne dwie się nie szachowały. 10. Ile istotnie różnych naszyjników złożonych z dwóch koralików czerwo- nych, czterech białych i jednego czarnego można utworzyć, jeśli wszyst- kie koraliki muszą być wykorzystane? Dwa naszyjniki uważamy za takie same, jeśli jeden z nich powstaje z drugiego przez dowolne przekształ- cenie izometryczne. 11. Ile istotnie różnych naszyjników złożonych z 8 koralików można utwo- rzyć, jeśli koraliki są tylko białe i czarne oraz w naszyjniku powinno być więcej koralików białych niż czarnych. 12. Długie przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na sześć trójkątów. Każdy z trójkątów kolorujemy na niebiesko, czerwono lub zielono. Ile jest różnych pokolorowań które są: 1 - różne ze względu na obroty sześciokąta - różne ze względu na wszystkie izometrie. 13. Kolorujemy koła figury (łącznie ze środkiem) z rysunku ?? kolorami białym i czarnym. Stosując lemat Bernside’a odpowiedz, ile jest różnych pokolorowań (ze względu na obroty), w których biały kolor użyty jest 9 razy, zaś czarny 4? 14. Kolorujemy kwiatek o sześciu płatkach (łącznie ze środkiem) kolorami białym i czarnym (rys. 1). Odpowiedz ile jest różnych pokolorowań (ze
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)