Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia- opracowanie

Nasza ocena:

5
Pobrań: 203
Wyświetleń: 1316
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia- opracowanie - strona 1 Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia- opracowanie - strona 2 Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia- opracowanie - strona 3

Fragment notatki:

Przykład 6.1. Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia
Stan naprężenia
Stan naprężenia w punkcie jest określony za pomocą dziewięciu składowych, które
oznaczamy literą σ z odpowiednimi indeksami. Pierwszy indeks oznacza normalną
zewnętrzną do przekroju, w którym działa naprężenie, zaś drugi – kierunek naprężenia.
W wytrzymałości materiałów, dla odróżnienia naprężeń stycznych stosuje się literę τ ,
natomiast powtarzający się indeks w oznaczeniu naprężeń normalnych pomija się. Zgodnie
z twierdzeniem o wzajemności naprężeń stycznych zachodzą równości: τ xy = τ yx , τ yz = τ zy ,
τ zx = τ xz . Mamy zatem 6 niezależnych składowych stanu naprężenia, które zapisujemy jako:
σ xx σ xy σ xz 
 σ x τ xy τ xz 




σ = σ yx σ yy σ yz 
lub
σ = τ yx σ y τ yz 
σ zx σ zy σ zz 
τ zx τ zy σ z 




Przyjmuje się następujące zasady znakowania składowych stanu naprężenia:
• Naprężenie normalne jest dodatnie, gdy jest skierowane na zewnątrz przekroju („od
przekroju”), tzn. jest rozciągające.
• Umowę znaków dla naprężenia stycznego wyjaśnimy na przykładzie naprężenia τxy.
Działa ono w przekroju prostopadłym do osi x, wzdłuż osi y. W przekroju o normalnej
zewnętrznej zgodnej ze zwrotem osi x naprężenie τxy jest dodatnie, gdy ma zwrot
zgodny z osią y. Natomiast w przeciwległym przekroju (o ujemnej normalnej
zewnętrznej) naprężenie τxy jest dodatnie, gdy ma zwrot przeciwny do osi y.
Aby zilustrować na rysunku stan naprężenia w danym punkcie, należy przeprowadzić przez
ten punkt trzy przekroje prostopadłe do przyjętego układu osi xyz. Narysowanie wszystkich
składowych stanu naprężenia dosłownie „w punkcie” byłoby nieczytelne, dlatego
prowadzimy przekroje w jego nieskończenie małym otoczeniu (rysujemy prostopadłościan
„kostkę”).
Na poniższym rysunku zaznaczono dodatnie zwroty odpowiednich naprężeń.
σz
z
τ zy
τ zx
τ yz
τ xz
τ xy
y
x
τ yx
σy
σx
Przykładowo, dla poniższego stanu naprężenia ilustracja graficzna jest następująca:
6
z
1
1
1
1
x
y
2
5
5
5
 2
σ= 5

− 1

5 − 1
5
1 [MPa ]

1 6

Uwaga:
Zadania 1, 2, i 3 dotyczą wyznaczania wartości głównych i kierunków głównych
przestrzennego stanu naprężenia. Dla stanu odkształcenia zagadnienie to rozwiązuje się
analogicznie. Wystarczy zastąpić składowe stanu naprężenia odpowiednimi składowymi stanu
odkształcenia.
ZADANIE 1. Obliczyć wartości naprężeń głównych oraz określić kierunki główne stanu
naprężenia:
 σ x τ xy τ xz   2


σ = τ yx σ y τ yz  =  5

τ zx τ zy σ z  − 1

 
5 − 1
5
1 [MPa ]

1 6

Rozwiązanie
Obliczamy wartości niezmienników stanu naprężenia.
sI = σ x + σ x + σ z = 2 + 5 + 6 = 13 MPa
sII =
σx
τ yx
τ xy σ x τ xz σ y τ yz
2
2
2
+
+
= σ x σ y − τ xy + σ y σ z − τ yz + σ z σ x − τ zx
σ y τ zx σ z τ zy σ z
= 2 ⋅ 5 − 5 2 + 5 ⋅ 6 − 12 + 2 ⋅ 6 − (−1) 2 = 25 MPa 2
σ x τ xy τ xz
sIII = τ yx σ y τ yz = σ x σ y σ z + τ xyτ yzτ zx + τ xzτ yxτ zy − τ xz σ yτ zx − σ xτ yzτ zy − τ xyτ yx σ z
τ zx τ zy σ z
= 2 ⋅ 5 ⋅ 6 + 2 ⋅ 1(−1) + (−1) ⋅ 5 ⋅ 1 −

(…)

… = 3 można sprawdzić, że liczba 3, która jest podzielnikiem liczby 216,
spełnia nasze równanie.
7
Wykonajmy dzielenie:
(σ 3 − 20σ 2 + 123σ − 216) : (σ − 3) = σ 2 − 17σ + 72
σ 3 − 3σ 2
− 17σ 2 + 123σ
− 17σ 2 + 51σ
72σ − 216
72σ − 216
0
Pozostałe pierwiastki dostaniemy z równania kwadratowego
σ 2 − 17 σ + 72 = 0 .
Obliczamy:
∆ = 17 2 − 4 ⋅1⋅ 72 = 1 ,
17 + 1
σ '=
=9
2
17 − 1
σ "=
=8
2
∆ =1
Mamy zatem…
… będą pierwiastkami równania kwadratowego otrzymanego po wykonaniu dzielenia
(σ 3 − 20 σ 2 + 123σ − 216) : (σ − 8) .
Podany sposób rozwiązania zaleca się jako ćwiczenie do samodzielnego wykonania.
8
ZADANIE 4. W pewnym punkcie dany jest stan naprężenia:
 2 − 1 0
σ = − 1 − 1 2 [MPa ]


 0
2
1


Znaleźć wektor naprężenia p w tym punkcie, w przekroju o normalnej zewnętrznej
3
4
n = [5 ,0, 5 ] . Rozłożyć…
… z definicji iloczynu skalarnego:
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0,586 ⋅ (−0,187) + 0,806 ⋅ 0,0382 + 0,0803 ⋅ 0,982 = 6,18 ⋅ 10 −5 ≅ 0
l2l3 + m2 m3 + n2 n3 = −0,187 ⋅ 0,788 + 0,0382 ⋅ (-0,591) + 0,982 ⋅ 0,173 = -4,62 ⋅ 10 −5 ≅ 0
l3l1 + m3 m1 + n3n1 = 0,788 ⋅ 0,586 − 0,591 ⋅ 0,806 + 0,173 ⋅ 0,0803 = −6,86 ⋅ 10 −4 ≅ 0
Wartości iloczynów skalarnych poszczególnych par wektorów nie są dokładnie równe zeru
z uwagi na błędy…
… = 8 − 1,312 = 0,288
5

2
τ ny = 5 − 0,0 = 0,4
τ = 3 − 0,984 = −0,384
 nz 5
τ n = [0.288, 0.400,− 0.384]
9
ZADANIE 5. Dla tensora odkształcenia zdefiniowanego w sposób następujący:
2 1 0
ε = 1 3 0 


0 0 4


znaleźć aksjator i dewiator.
Rozwiązanie:
Każdy tensor symetryczny drugiego rzędu (co odnosi się do tensorów naprężenia,
odkształcenia i bezwładności) można przedstawić w postaci…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz