Przestrzenie i przekształcenia liniowe - ćwiczenia

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 1)
P RZESTRZENIE I
PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE
1. Niech S i T b˛ da˛ sko´ czenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V . Wyka˙ , ze
e
n
z ˙
(a) Je´li dim S = dimV , to S = V .
s
(b) Je´li dimV = n oraz {v1 , . . . , vk } jest baza S, to istnieja wektory vk+1 , . . . , vn ∈ V takie, ze {v1 , . . . , vn } jest baza
s
˛
˛
˙
˛
przestrzeni V .
(c) Je´li {v1 , . . . , vk } jest baza S za´ {vk+1 , . . . , vn } jest baza T , to {v1 , . . . , vn } jest baza V wtedy i tylko wtedy, gdy
s
˛
s
˛
˛
V = S⊕T.
2. Niech U i V b˛ da˛ przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Niech {u1 , . . . , un } b˛ dzie baza˛ U, za´ {v1 , . . . , vn }
e
e
s
dowolnym układem wektorów przestrzeni V . Wyka˙ , ze:
z ˙
(a) Istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : U → V takie, ze f (ui ) = vi dla i = 1, . . . , n.
˙
(b) Przekształcenie f jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy {v1 , . . . , vn } jest baza V .
˛
(c) U ∼ V wtedy i tylko wtedy, gdy dimU = dimV .
=
n
3. Niech K b˛ dzie ciałem, A = [ai j ] ∈ Km oraz b = [bi ] ∈ K n . Oznaczmy, przez Au macierz, której poczatkowych
e
˛
n kolumn to kolumny macierzy A a ostatnia jest kolumna b = [bi ]. Rozwa˙ my układ m równa´ liniowych o n
˛
z
n
niewiadomych.
 
X1
.
A· .  = b
( )
.
Xn
Wyka˙ , ze:
z ˙
(a) Układ ( ) ma rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(A) = r(Au ).
˛
(b) Je´li n = m oraz det A = 0, to układ ( ) ma dokładnie jedno rozwiazanie.
s
˛
(c) Je´li b = 0, to zbiór rozwiaza´ układu ( ) jest podprzestrzenia przestrzeni K n o wymiarze równym n − r(A).
s
˛ n
˛
4. Niech V b˛ dzie n-wymiarowa˛ przestrzenia˛ liniowa˛ nad ciałem K, za´ {v1 , . . . , vn } baza˛ V . Wska˙ naturalny izoe
s
z
morfizm V → K n .
5. Niech V = R[X]n = { f ∈ R[X] : deg f ≤ n}, natomiast przekształcenie δ : V → V niech przyporzadkowuje wielo˛
mianowi jego pochodna. Pokaza´ , ze δ jest endomorfizmem przestrzeni V oraz znale´ c macierz δ w bazie:
˛
c ˙
z´
2 , . . . , X n ),
(a) (1, X, X
(X − c)2
(X − c)n
(b) (1, X − c,
, ...,
), gdzie c jest ustalona liczba rzeczywista.
˛
˛
˛
2!
n!
6. Macierz przekształcenia ϕ : K 3 → K 3 w bazie (ε1 , ε2 , ε3 ) ma posta´
c






∗ ∗ 0
∗ ∗ 0
∗ ∗ 0
(c)  ∗ ∗ 0 .
(a)  ∗ ∗ 0 ,
(b)  ∗ ∗ 0 ,
∗ ∗ 0
0 0 ∗
∗ ∗ 1
Jakie własno´ci przekształcenia ϕ mo˙ na stad odczyta´ ?
s
z
˛
c
7. Obliczy´ wielomian charakterystyczny
c
endomorfizmu, który w pewnej bazie ma macierz postaci



−an−1
1
0
.
.
.
−an−2
0
1
.
.
.
···
···
···
..
.
−a1
0
0
.
.
.
−a0
0
0
.
.
.
0






0
···
1
0



;





(b) 


0 ···
0 ···
1 ···
. ..
.
.
.
0 0 ···
0
1
0
.
.
.
0
0
0
.
.
.
−a0
−a1
−a2
.
.
.



.


1 −an−1
Czy ka˙ dy wielomian unormowany, z dokładno´cia do znaku, mo˙ e by´ wielomianem charakterystycznym jakiego´
z
s ˛
z
c
s
endomorfizmu ?
8. Niech ϕ : R[X]3 → R[X]3 b˛ dzie przekształceniem danym wzorem ϕ( f (X)) = ((X + 3) f (X)) . Sprawdzi´ , ze ϕ jest
e
c ˙
przekształceniem liniowym i obliczy´ jego warto´ci własne i wektory własne.
c
s


−3 ... zobacz całą notatkę