Przekształcenia liniowe

Treść zagadnienia spisana jest dużą czcionką o rozmiarze 20, co zajmuje 11 stron (czcionka standardowa - 7 stron). W notatce zaprezentowano następujące definicje matematyczne: odwzorowanie liniowe, obraz odwzorowania liniowego, jądro odwzorowania liniowego, rząd odwzorowania liniowego, macierz przekształcenia liniowego, równanie liniowe, rozwiązanie równania. Prócz definicji, w opracowaniu znalazły się również twierdzenia, przykłady oraz zadania. Wśród przykładów znalazły się m.in. transponowanie macierzy oraz przekształcenie tożsamościowe na macierz.

Przekształcenia liniowe.
Definicja:
Odwzorowanie h:EႮF przestrzeni wektorowej E w przestrzeń wektorową F nazywamy odwzorowaniem linowym, jeśli dla dowolnych wektorów x,y჎E i dowolnej liczby ၬ჎R spełnione są warunki:
h(x + y) = h(x) + h(y) - (addytywność)
h(ၬx) = ၬთh(x) - (jednorodność)
Twierdzenie 1.
W przekształceniu liniowym obrazem wektora zerowego 0 jest wektor 0.
Twierdzenie 2.
Obrazem podprzestrzeni w przekształceniu liniowym jest podprzestrzeń.
Twierdzenie 3.
Przeciwobrazem podprzestrzeni w przekształceniu liniowym jest podprzestrzeń
Definicja:
Obrazem odwzorowania liniowego h nazywamy podprzestrzeń h(E) i oznaczamy ją:
Imh = h(E) = {h(x): x჎E}
Definicja:
Jądrem odwzorowania liniowego h nazywamy podprzestrzeń h-1({0}) przestrzeni E i oznaczamy ją Ker h.
Ker h:= h-1({0})={x჎ E: h(x)=0}
Definicja:
Rzędem odwzorowania liniowego h nazywamy wymiar jego obrazu i oznaczamy go przez rg h
Rg h:=dim (im h)
Przykład 1.
Model „nakłady xi“ = wyniki yj. Gdy f : xႮy jest przekształceniem liniowym.
Opisują równania liniowe:
...
Homotetie h : EႮ E ; h(x):=ၡx jest odwzorowaniem liniowym.
ၡ = 1 - tożsamość, ၡ Ⴙ 0 h - wzajemnie jednoznaczne
ၡ = 0 - odwzorowanie zerowe
Macierz przekształcenia liniowego
Liniowe:
H : EႮ F jest określone jednoznacznie przez zadanie wartości na wektorach bazowych przestrzeni E.
Niech a1, a2, ...,an baza E to:
niech w przestrzeni F będzie dana baza: b1,b2,...,bm wówczas istnieją liczby ...
Definicja macierzy przekształcenia h:
Macierz
Nazywamy macierzą przekształcenia h.
Oznaczenie M(h) :
M(h):= [ၡik]m x n
F : R2ႮR2 obrót płaszczyzny wokół środka (0,0) o kąt ၡ to: Oznaczenie:
L(E,F) - zbiór wszystkich odwzorowań liniowych przestrzeni wektorowej E w przestrzeń wektorową F.
Twierdzenie 4.
Twierdzenie 5.
Definicja:
Jeżeli h჎L(E,F), g჎L(F,G) to iloczynem macierzy M(g) i M(h) nazywamy macierz M(g Ⴐh). Iloczyn macierzy M(g) i M(h) oznaczamy M(g)თM(h).
Twierdzenie 6.
Jeżeli h჎L(E,F); g჎L(F,G) i M(g)=[ၡij]p x m; M(h)=[ၢik]m x n to M(g Ⴐh)=[ၧjk]p x n, gdzie Przykład 4.
Niech mamy do wyboru n koszyków z m dobrami każdy. Zakupu dokonujemy w dowolnym z p magazynów. Jeśli k -ta kolumna macierzy (ၢ

(…)

…. Wykazać, że jądro przekształcenia liniowego jest przestrzenią liniową (wektorową).
Zadanie 4.
Wyznaczyć macierz C=AB-BA, jeśli
Zadanie 5.
Znaleźć f(A)=2A2-5A+5I, gdzie Wyznacznik macierzy przekształcenia liniowego.
Niech liniowe h : E→E ; gdzie E jest przestrzenią wektorową z bazą {a1, a2,..., an}.
Wektory bazowe a1, a2,..., an rozpinają równoległościan o zorientowanej objętości Vol (a1, a2,..., an):= A wektory h(a1), h(a2),..., h(an) - równoległościan o zorientowanej objętości Vol (h(a1), h(a2),..., h(an)).
Własności zorientowanej objętości:
Vol (a1, a2,...,ai,...,aj,...,an) = 
=Vol(a1, a2,...,aj,...,ai,...,an) , i≠j
Vol(λa1, a2,...,an)=λ⋅Vol(a1, a2,...,an)
Vol(a1'+ a1”,a2,...,an)=
=Vol(a1', a2,...,an)+Vol(a1”, a2,...,an)
Zadanie 6.
Oblicz objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach:
[2,1,3] ; [5,3,2] ; [1,4,3]
[1,2,3,4] ; [-2,1,-4,3] ; [3,-4,-1,2] ; [4,3,-2,-1]
Zadanie 7.
Znaleźć układ równań liniowych określających podprzestrzeń rozpiętą na wektorach:
[1,-1,1,0] ; [1,1,0,1] ; [2,0,1,1]
Równanie liniowe.
Niech g : E→F ; h : E→F, dowolne przekształcenia liniowe przestrzeni wektorowej E w przestrzeń wektorową F ; b - dowolny wektor z F.
Definicja
Równanie h(x)=b nazywany liniowym.
*gdy prawa…
... zobacz całą notatkę