Przedziały ufno´sci dla ´sredniej Wykład 11; 25 kwietnia 2012 Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszka´n w mie´scie A: 3 , 75; 3 , 89; 5 , 09; 3 , 77; 3 , 53; 2 , 82; 3 , 16; 2 , 79; 4 , 34; 3 , 61; 4 , 31; 3 , 31; 2 , 50; 3 , 27 . Podczas ostatniego wykładu weryfikowali´smy H 0 : µ = µ 0 przeciw H 1 : µ = µ 0 , gdzie µ 0 = 3 , 8 . Zało˙zyli´smy, ˙ze dane dotycz ˛ ace cen metra kw. mieszka´n w A s ˛ a realizacj ˛ a próby prostej z rozkładu normalnego N ( µ, σ ). Obliczenia w ´srodowisku R: t.test(z,mu=3.8) One Sample t-test data: z t = -1.1777, df = 13, p-value = 0.26 alternative hypothesis: true mean is not equal to 3.8 95 percent confidence interval: 3.180491 3.982366 sample estimates: mean of x 3.581429 Chcieliby´smy pozna´c znaczenie terminu: „95 percent confidence interval” (95-procentowy przedział ufno´sci)! 1 Testy i przedziały ufno´sci Załó˙zmy, ˙ze nie dysponujemy danymi dotycz ˛ acymi cen mieszka´n w poprzednich kwar- tałach Problem: dla jakich µ 0 hipoteza H 0 : µ = µ 0 (przy hipotezie alternatywnej H 1 : µ = µ 0) nie b˛edzie odrzucona przy poziomie istotno´sci α = 0 , 05 . Odpowied´z: dla µ 0 ∈ (¯ x − t 1 −α/ 2 ,n− 1 s √ n , ¯ x + t 1 −α/ 2 ,n− 1 s √ n ) . Dla naszych konkretnych danych ten przedział jest równy (3 , 18; 3 , 98) . Ten przedział to realizacja 95-procentowego przedziału ufno´sci dla µ (lub krócej — 95-procentowy przedział ufno´sci dla ´sredniej µ ). Przedział ufno´sci dla ´sredniej rozkładu normalnego — przypadek nieznanego od- chylenia standardowego Niech X 1 , X 2 , . . . , Xn — próba (prosta) z rozkładu N ( µ, σ ) . Mamy: P ( ¯ X − t 1 −α/ 2 ,n− 1 S √ n µ ¯ X + t 1 −α/ 2 ,n− 1 S √ n ) = 1 − α. Przedział ( ¯ X − t 1 −α/ 2 ,n− 1 S √ n , ¯ X + t 1 −α/ 2 ,n− 1) S √ n — przedział ufno ´sci dla µ na po- ziomie ufno´sci 1 − α. Ko´nce przedziału ufno´sci — zmienne losowe! W praktyce- cz˛esto realizacje przedziałów ufno´sci (dla konkretnych danych)- równie˙z s ˛ a nazywane przedziałami ufno´sci. Przedział ufno´sci dla ´sredniej rozkładu normalnego — przypadek znanego odchy- lenia standardowego Niech X 1 , X 2 , . . . , Xn — próba (prosta) z rozkładu N ( µ, σ ) , σ jest znane. Przedział ( ¯ X − z 1 −α/ 2 σ √ n , ¯ X + z 1 −α/ 2 σ √ n )— przedział ufno´sci dla µ na poziomie ufno´sci 1
(…)
…˛ sto´ci p
s
e s ˆ
˙ ˛
Niech Y — liczba zyjacych w ubóstwie— spo´ród n ankietowanych.
s
Oczywi´cie Y ∼ Bin(n, p)— gdzie p nieznane;
s
2
Korzystajac z centralnego twierdzenia granicznego: p =
˛
ˆ
normalny N p,
p(1−p)
n
˙
ma w przyblizeniu rozkład
.
˙
Innym sensownym przyblizeniem rozkładu cz˛ sto´ci
e s
p(1 − p)
ˆ
ˆ
,
n
N p,
ˆ
Y
n
Y
n
jest
p oznacza tu realizacj˛ zmiennej Y /n
ˆ
e
(1)
(por. ksiazk˛ J…
…/2
10000
0,127(1 − 0,127)
≈
10000
[0,1204738; 0,1335262].
Badania sonda˙ owe— margines bł˛ du
z
e
Badanie przeprowadzone dla dziennika „USA Today” i telewizji CNN potwierdza spa˙
dajace poparcie dla Busha - 49 procent przeciwko, 47 - za. Sondaz ten daje w listopa˛
dowych wyborach zwyci˛ stwo Kerry’emu - 49 procent; Busha poparłoby 47 procent
e
badanych.
˙
CBS przeprowadziło sondaz telefonicznie w dniach 20-23 maja na reprezentatywnej
próbie 1113 osób dorosłych. Podano informacj˛ , ze margines bł˛ du wynosi 3 procent.
e ˙
e
Realizacja 95-procentowego przedziału ufno´ci dla proporcji wyborców głosujacych
s
˛
na Kerry’ego jest postaci 0,49 ± 0,0294, a realizacja 95-procentowego przedziału ufno´ci dla proporcji wyborców głosujacych na Busha jest postaci 0,47 ± 0,0293.
s
˛
Cz˛ sto "margines bł˛ du…
…
Niech X1 , X2 , . . . , Xn — próba (prosta) z rozkładu N (µ, σ), σ jest znane.
σ
σ
¯
¯
Przedział (X − z1−α/2 √n , X + z1−α/2 √n )— przedział ufno´ci dla µ na poziomie
s
ufno´ci 1 − α.
s
z1−α/2 — kwantyl rozkładu normalnego rz˛ du 1 − α/2.
e
σ
Dla realizacji próby: x1 , x2 , . . . , xn — realizacja tego przedziału ufno´ci: (¯−z1−α/2 √n , x+
s
x
¯
σ
z1−α/2 √n ).
Przedział ufno´ci dla proporcji
s
˙ ˛
W pa…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)