/ 1 Preliminaria - elementy teorii mnogo´ sci 1.1 podstawowe poje ‘ cia i oznaczenia Poniewa˙z poje ‘ cie zbioru jest zwykle dla Pa´ nstwa naturalne, przypomnijmy wie ‘ c tylko, ˙ze: • przez du˙ze litery A, B, C, . . . oznaczamy zbiory; • przez male litery a, b, c, . . . oznaczamy elementy zbior´ ow; • zbi´ or pusty oznaczamy jako O / ; • relacje ‘ nale˙zenia elementu x do zbioru X (element x nale˙zy do zbioru X) zapisujemy x ∈ X; • analogicznie fakt, ˙ze element x nie nale˙zy do zbioru X zapisujemy jako x ∈ X; • zbi´ or o sko´ nczonej liczbie element´ ow zapisujemy zwykle poprzez ich wyszczeg´ olnienie, np.: A = {2, 5, 8}; • je´sli jednak elementy zbioru pola ‘ czone sa ‘ jakim´s zwia ‘ zkiem, to najlepiej zapisa´ c ten zbi´ or korzystaja ‘ c z tej wlasno´sci (nawet je´sli zbi´ or ten jest tylko kilkuelementowy), np.: zbi´ or liczb rzeczywistych, kt´ ore podniesione do kwadratu daja ‘ 4, zapisujemy naste ‘ puja ‘ co {x ∈ IR : x 2 = 4} (co odczytujemy jako: zbi´ or x nale˙za ‘ cych do liczb rzeczywistych, takich, ˙ze x2 = 4). Oczywi´scie ten zbi´ or mo˙zna zapisa´ c przez wyszczeg´ olnienie element´ ow jako {−2, 2}; • jednym z podstawowych kryteri´ ow podzialu zbior´ ow jest ilo´s´ c element´ ow. W zale˙zno´s´ c od ich ilo´sci dzielimy je zbiory sko´ nczone i niesko´ nczone. Rozr´ o˙znienie to jest istotne zwlaszcza przy dowodzeniu wlasno´sci kt´ ore posiadaja ‘ elementy zbioru. W przypadku zbior´ ow sko´ nczonych wystarcza niekiedy ich sprawdzenie dla ka˙zdego elementu z osobna. Zbiory niesko´ nczone wymagaja ‘ jednak, by u˙zy´ c innych technik (np. indukcji); • przez moc zbioru rozumie´c be ‘ dziemy ilo´s´ c element´ ow tego zbioru (dla uproszczenia ograniczmy sie ‘ tylko do zbior´ ow o sko´ nczonej ilo´sci element´ ow) • - przez IN oznacza´c be ‘ dziemy liczby naturalne. Uwaga! Przyjmujemy, ˙ze 0 jest liczba ‘ naturalna ‘ (cho´ c sa ‘ inne konstrukcje, kt´ ore wykluczaja ‘ 0 ze zbioru liczb naturalnych); - przez Z oznacza´ c be ‘ dziemy zbi´ or liczb calkowitych; - przez I Q oznacza´ c be ‘ dziemy liczby wymierne, tj. postaci p q , gdzie p ∈ Z a q ∈ IN; - przez IR oznacza´ c be ‘ dziemy zbi´ or liczb rzeczywistych; - przy okazji wprowadzmy oznaczenie I C - zbioru liczb zespolonych (o kt´ orym mowa be ‘ dzie p´ o´ zniej). Maja ‘ c okre´slone elementy zbior´
(…)
… - nazwiemy kresem dolnym (infimum) zbioru A. Kres dolny zbioru A, s = inf A,
spelnia dwa warunki:
∀x ∈ A, x ≥ s,
∀ε > 0 ∃x ∈ A S + ε ≥ x;
• dla zbior´w nieograniczonych, przyjmujemy sup A = +∞, inf A = −∞;
o
• Przyklad:
dla A = (−2, 5), mamy inf A = −2, sup A = 5;
dla A = [−2, 5], mamy inf A = −2, sup A = 5;
dla A = (4, +∞), mamy inf A = 4, sup A = +∞;
dla A = (−∞, −2], mamy inf A = −∞, sup A = −2…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)