To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
4. Przykłady. W poniższych przykładach wyznaczać będziemy natężenie pola w odległości r od jednorodnej, nieskończonej nici, płaszczyzny jednorodnie naładowanej z gęstością powierzchniową ładunku δ, oraz kuli o gęstości ρ.
4.1. Liniowy rozkład masy. Masa rozłożona jest równomiernie na nieskończonej nici o gęstości liniowej λ. Jak widać na rysunku, pole ma symetrię osiową, a więc korzystny jest wybór powierzchni Gaussa w kształcie walca o długości L i promieniu r. Pamiętajmy, że wektor natężenia pola grawitacyjnego g jest zwrócony do masy, czyli przeciwnie do wektora ds pobocznicy.
Całkowity strumień przechodzący przez tę powierzchnię składa się ze strumienia przechodzącego przez pobocznicę walca i strumieni przechodzących przez obie jego podstawy:
ΦC= Φb+ 2 Φp Strumienie te obliczamy korzystając z wzorów z p.1.
Φp = gdzie S jest polem powierzchni podstawy walca. Z kolei Φb:
Φb = Całkowity więc strumień ΦC= -2πrLg
Obliczamy teraz masę zawartą wewnątrz wybranej powierzchni Gaussa. Ponieważ nić jest jednorodna, gęstość tej jej części, która jest zawarta wewnątrz walca jest:
a zatem m = λL
Podstawiając otrzymane rezultaty do równania Gaussa otrzymujemy:
-2πrLg = 4πG⋅λL stąd
4.2. Powierzchniowy rozkład ładunku. Jednorodnie dodatnio naładowana płaszczyzna z gęstością powierzchniową ładunku δ wytwarza po obu stronach jednorodne pole elektryczne o natężeniu E. Na podstawie dyskusji w p. 3.1. wybieramy przykładowo powierzchnię w kształcie prostopadłościanu „wystającego” ponad naładowaną płaszczyznę na wysokość r.
Całkowity strumień obliczamy ze wzoru: ΦC= 4Φb+ 2 Φp gdzie Φb oznacza strumień przechodzący przez powierzchnie boczne prostopadłościanu, a Φp to strumienie przechodzące przez jego podstawy.
Na podstawie rysunku możemy zapisać: Φb = natomiast
Φp = tak więc
ΦC = 2E⋅Sp
Ładunek zawarty wewnątrz prostopadłościanu znajduje się na fragmencie powierzchni o wielkości Sp i ma gęstość δ. Można więc zapisać: q = Sp⋅δ
Podstawiając te wyniki do równania Gaussa otrzymujemy:
2E⋅Sp= a zatem 4.3. Objętościowy rozkład masy. Naszym zadaniem jest wyznaczenie zależności natężenia pola grawitacyjnego od odległości od środka jednorodnej kuli o promieniu R, masie M i gęstości objętościowej ρ. Jak widać z Rys.4. przy wyborze powierzchni Gaussa w kształcie sfery, dla każdego punktu jej powierzchni wektor natężenia pola ma taka samą wartość i jest równoległy do wektora
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)