Prawa zachowania

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 882
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Prawa zachowania - strona 1 Prawa zachowania - strona 2 Prawa zachowania - strona 3

Fragment notatki:

PRAWA ZACHOWANIA
Podstawowe terminy
Cia»a tworzce uk»ad mechaniczny oddzia»ywuj mi“dzy sob i z cia»ami nie
naleócymi do uk»adu za pomoc
a) si» wewn“trznych -
si» dzia»ajcych na dane cia»o ze strony innych
cia» tego samego uk»adu,
b) si» zewn“trznych
-
si» dzia»ajcych na dane cia»o ze strony cia» nie
naleócych do rozpatrywanego uk»adu.
Uk»ad zamkni“ty
- uk»ad w którym nie wyst“puj si»y zewn“trzne.
Ca»ki ruchu
- pewne funkcje wspó»rz“dnych i pr“dkoÑci czstek
w uk»adzie zamkni“tym, które zachowuj sta»
wartoу podczas moóliwych ruchów uk»adu.
Addytywne ca»ki ruchu - ca»ka ruchu uk»adu z»oóonego z poduk»adów
równa jest sumie wartoÑci tej ca»ki ruchu dla
poszczególnych poduk»adów - energia, p“d,
moment p“du.
Praw a zach owania 1
Energia kinetyczna czstki
- wypadkowa si» dzia»ajcych na czstk“
- energia kinetyczna czstki
Dla uk»adu zamkni“tego
, a pozostaje sta»a. W przypadku czstki
izolowanej energia kinetyczna jest ca»k ruchu.
Dla
dA - praca wykonana przez si»“
-
na drodze
Praca si»y wypadkowej zamienia si“ na
przyrost energii kinetycznej czstki
Praw a zach owania 2
Si»y zachowawcze
Jeóeli w kaódym punkcie przestrzeni czstka jest poddana dzia»aniu innych
cia», to mówimy, óe czstka znajduje si“ w polu si».
Pole stacjonarne
- pole, które nie zmienia si“ w czsie.
Pole zachowawcze - pole stacjonarne, w którym praca wykonana nad
czstk przez si»y pola zaleóy tylko od pocztkowego
i ko½cowego po»oóenia czstki, nie zaleóy natomiast
od drogi, po której porusza si“ czstka.
Praca si» zachowawczych na drodze zamkni“tej jest równa zeru.
Np. si»a ci“ókoÑci jest si» zachowawcz. Si»a ta ma w dowolnym punkcie
t“ sam wartoу, ten sam kierunek i ten sam zwrot.
nie zaleóy od kszta»tu toru
»czcego punkt 1 i 2, a wi“c jest
si» zachowawcz.
Moóna pokazaƒ, óe si» zachowawcz jest równieó si»a centralna
.
Praw a zach owania 3
Energia potencjalna czstki w zewn“trznym polu si»
W zachowawczym polu si» kaódemu punktowi pola moóna przypisaƒ wartoу
pewnej funkcji
, tak, óe róónica wartoÑci tej funkcji w punktach
1 i 2 jest równa pracy si» pola:
Tak funkcj moóe byƒ np.
- pra ca wyko na na przez p o l e z a c h o wa w c z e p r zy
przemieszczeniu czstki z punktu P do punktu 0.
Dla takiej funkcji zachodzi
PokazaliÑmy juó, óe
Mamy wi“c
Czyli wielkoу
obliczona dla czstki w polu si» zachowawczych jest ca»k ruchu.
U
E
- energia potencjalna w zewn“trznym polu si»,
- ca»kowita energia mechaniczna.
Praca wykonana nad czstk przez si»y zachowawcze równa jest ubytkowi
energii potencjalnej czstki. Energia potencjalna okreÑlona jest z
dok»adnoÑci do pewnej sta»ej addytywnej.
Praw a zach owania 4
Zwizek energii potencjalnej z si»ami pola
Znajc postaƒ funkcji U moóna okreÑliƒ si»“, która dzia»a na czstk“ w
kaódym punkcie pola.
Poniewaó dla dowolnych dwóch punktów 1 i 2 mamy
wi“c zachodzi
lub inaczej
czyli
Znajc sk»adowe, moóna okreÑliƒ wektor si»y
Wektor o sk»adowych
gdzie jest skalarn funkcj
wspó»rz“dnych
nazywamy gradientem funkcji
i oznaczamy
symbolem
- operator nabla,
czytamy „gradient fi”
Si»a zachowawcza jest równa gradientowi energii potencjalnej ze
znakiem minus.
Praw a zach owania 5
PRAWO ZACHOWANIA ENERGII
Rozwaómy uk»ad N czstek o masach m1, m2, ..., mN oddzia»ywujcych ze
sob tylko za pomoc si»
zaleónych od ich wzajemnej odleg»oÑci, a wi“c
si»ami centralnymi. Równanie ruchu dla i-tej czstki
zewn“trzna si»a zachowawcza
zewn“trzna si»a niezachowawcza
Po pomnoóeniu tych równa½ przez
i dodaniu stronami
wszystkich N równa½ otrzymujemy
Lewa strona tego równania jest przyrostem energii kinetycznej uk»adu
Pierwszy cz»on po prawej stronie równy jest ubytkowi energii potencjanej
wzajemnego oddzia»ywania czstek. Pokaómy to na przyk»adzie 3 czstek
Praw a zach owania 6
Drugi sk»adnik po prawej stronie jest równy ubytkowi energii potencjalnej
uk»adu w zewn“trznym polu si» zachowawczych
Ostatni sk»adnik jest prac niezachowawczych si» zewn“trznych
Czyli
ca»kowita energia mechaniczna uk»adu
Jeóeli nie ma zewn“trznych si» niezachowawczych, to
, lub
Prawo zachowania energii mechanicznej
Ca»kowita energia mechaniczna uk»adu cia», na które dzia»aj tylko si»y
zachowawcze, jest sta»a.
Dla uk»adu zamkni“tego (w nieobecnoÑci si» zewn“trznych)
Ca»kowita energia mechaniczna uk»adu zamkni“tego, wewntrz którego
dzia»aj tylko si»y zachowawcze, jest wielkoÑci sta».
Praw a zach owania 7
PRAWO ZACHOWANIA P’DU
Rozwaómy uk»ad N wzajemnie oddzia»ywujcych ze sob czstek
si»y wewn“trzne dzia»ajce na i-t czstk“
wypadkowa si» zewn“trznych dzia»ajcych na i-t czstk“
Równanie ruchu dla i-tej czstki ma postaƒ
Sumujc wszystkie powyósze N równa½ stronami otrzymujemy
Wprowadzajc p“d uk»adu
Otrzymujemy
Przy braku si» zewn“trznych
sta»y
, czyli p“d uk»adu zamkni“tego jest
Prawo zachowania p“du
P“d zamkni“tego uk»adu punktów materialnych jest sta»y
P“d jest sta»y równieó w przypadku uk»adu nie zamkni“tego, o ile
wypadkowa si» zewn“trznych jest równa zeru.
Praw a zach owania 8
PRAWO ZACHOWANIA MOMENTU P’DU
Podobnie jak przy wyprowadzaniu zasady zachowania p“du rozwaómy uk»ad
N wzajemnie oddzia»ywujcych ze sob czstek
si»y wewn“trzne dzia»ajce na i-t czstk“
wypadkowa si» zewn“trznych dzia»ajcych na i-t czstk“
Równanie ruchu dla i-tej czstki ma postaƒ
Pomnóómy kaóde z tych równa½ przez
odpowiedni wektor po»oóenia
Po wysumowaniu
Zauwaómy, óe suma momentów si» wewn“trznych jest równa zeru
ºatwo to pokazaƒ dla np. 3 czstek
Praw a zach owania 9
Mamy wi“c
Wprowadïmy oznaczenia
moment p“du i-tej czstki wzgl“dem punktu O
moment p“du uk»adu N czstek wzgl“dem punktu O
moment wypadkowej si»y zewn“trznej dzia»ajcej na
i-t czstk“ wzgl“dem punktu O
wypadkowy moment si» zewn“trznych dzia»ajcych
na uk»ad N czstek wzgl“dem punktu O
Ostatecznie otrzymujemy
Pochodna po czasie momentu p“du jest równa sumie momentów si»
zewn“trznych.
Przy braku si» zewn“trznych
Zasada zachowania momentu p“du
Moment p“du zamkni“tego uk»adu czstek jest sta»y.
Moment p“du jest sta»y równieó dla uk»adu niezamkni“tego, o ile ca»kowity
moment si» zewn“trznych jest równy zeru.
Prawa zachowania 10
- rami“ wektora p“du
wzgl“dem punktu O
Rzut wektora
na pewn oÑ z przechodzc przez punkt O, wzgl“dem
którego jest okreÑlony wektor
wzgl“dem tej osi
nazywamy momentem p“du czstki
moment p“du uk»adu wzgl“dem osi z
- rami“ si»y
punktu O
Rzut wektora
wzgl“dem
na pewn oÑ z przechodzc
przez punkt O, wzgl“dem którego jest okreÑlony wektor
momentem si»y wzgl“dem tej osi
nazywamy
wypadkowy moment si» dzia»ajcych na uk»ad
wzgl“dem osi z
Prawa zachowania 11
Znak
okreÑlony jest przez znak
Moment si»y wzgl“dem osi charakteryzuje zdolnoу si»y do obracania cia»a
wzgl“dem tej osi. Sk»adowe
nie mog wywo»aƒ obrotu wzgl“dem
osi z. Obrót wokó» osi z moóe byƒ wywo»any tylko sk»adow
.
Moment pary si»
Para si» - dwie równe co do wartoÑci i o
równoleg»ym kierunku si »y o
przeciwnych zwrotach, nie dzia»ajce
wzd»uó jednej prostej.
l - rami“ pary si»
Moment pary si» nie zaleóy od wyboru
punktu O
Moment pary si» jest liczbowo równy iloczynowi wartoÑci jednej z si» i
ramienia pary si».
Prawa zachowania 12
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz