To tylko jedna z 12 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
PRAWA ZACHOWANIA
Podstawowe terminy
Cia»a tworzce uk»ad mechaniczny oddzia»ywuj midzy sob i z cia»ami nie
naleócymi do uk»adu za pomoc
a) si» wewntrznych -
si» dzia»ajcych na dane cia»o ze strony innych
cia» tego samego uk»adu,
b) si» zewntrznych
-
si» dzia»ajcych na dane cia»o ze strony cia» nie
naleócych do rozpatrywanego uk»adu.
Uk»ad zamknity
- uk»ad w którym nie wystpuj si»y zewntrzne.
Ca»ki ruchu
- pewne funkcje wspó»rzdnych i prdkoÑci czstek
w uk»adzie zamknitym, które zachowuj sta»
wartoÑ podczas moóliwych ruchów uk»adu.
Addytywne ca»ki ruchu - ca»ka ruchu uk»adu z»oóonego z poduk»adów
równa jest sumie wartoÑci tej ca»ki ruchu dla
poszczególnych poduk»adów - energia, pd,
moment pdu.
Praw a zach owania 1
Energia kinetyczna czstki
- wypadkowa si» dzia»ajcych na czstk
- energia kinetyczna czstki
Dla uk»adu zamknitego
, a pozostaje sta»a. W przypadku czstki
izolowanej energia kinetyczna jest ca»k ruchu.
Dla
dA - praca wykonana przez si»
-
na drodze
Praca si»y wypadkowej zamienia si na
przyrost energii kinetycznej czstki
Praw a zach owania 2
Si»y zachowawcze
Jeóeli w kaódym punkcie przestrzeni czstka jest poddana dzia»aniu innych
cia», to mówimy, óe czstka znajduje si w polu si».
Pole stacjonarne
- pole, które nie zmienia si w czsie.
Pole zachowawcze - pole stacjonarne, w którym praca wykonana nad
czstk przez si»y pola zaleóy tylko od pocztkowego
i ko½cowego po»oóenia czstki, nie zaleóy natomiast
od drogi, po której porusza si czstka.
Praca si» zachowawczych na drodze zamknitej jest równa zeru.
Np. si»a ciókoÑci jest si» zachowawcz. Si»a ta ma w dowolnym punkcie
t sam wartoÑ, ten sam kierunek i ten sam zwrot.
nie zaleóy od kszta»tu toru
»czcego punkt 1 i 2, a wic jest
si» zachowawcz.
Moóna pokaza, óe si» zachowawcz jest równieó si»a centralna
.
Praw a zach owania 3
Energia potencjalna czstki w zewntrznym polu si»
W zachowawczym polu si» kaódemu punktowi pola moóna przypisa wartoÑ
pewnej funkcji
, tak, óe róónica wartoÑci tej funkcji w punktach
1 i 2 jest równa pracy si» pola:
Tak funkcj moóe by np.
- pra ca wyko na na przez p o l e z a c h o wa w c z e p r zy
przemieszczeniu czstki z punktu P do punktu 0.
Dla takiej funkcji zachodzi
PokazaliÑmy juó, óe
Mamy wic
Czyli wielkoÑ
obliczona dla czstki w polu si» zachowawczych jest ca»k ruchu.
U
E
- energia potencjalna w zewntrznym polu si»,
- ca»kowita energia mechaniczna.
Praca wykonana nad czstk przez si»y zachowawcze równa jest ubytkowi
energii potencjalnej czstki. Energia potencjalna okreÑlona jest z
dok»adnoÑci do pewnej sta»ej addytywnej.
Praw a zach owania 4
Zwizek energii potencjalnej z si»ami pola
Znajc posta funkcji U moóna okreÑli si», która dzia»a na czstk w
kaódym punkcie pola.
Poniewaó dla dowolnych dwóch punktów 1 i 2 mamy
wic zachodzi
lub inaczej
czyli
Znajc sk»adowe, moóna okreÑli wektor si»y
Wektor o sk»adowych
gdzie jest skalarn funkcj
wspó»rzdnych
nazywamy gradientem funkcji
i oznaczamy
symbolem
- operator nabla,
czytamy „gradient fi”
Si»a zachowawcza jest równa gradientowi energii potencjalnej ze
znakiem minus.
Praw a zach owania 5
PRAWO ZACHOWANIA ENERGII
Rozwaómy uk»ad N czstek o masach m1, m2, ..., mN oddzia»ywujcych ze
sob tylko za pomoc si»
zaleónych od ich wzajemnej odleg»oÑci, a wic
si»ami centralnymi. Równanie ruchu dla i-tej czstki
zewntrzna si»a zachowawcza
zewntrzna si»a niezachowawcza
Po pomnoóeniu tych równa½ przez
i dodaniu stronami
wszystkich N równa½ otrzymujemy
Lewa strona tego równania jest przyrostem energii kinetycznej uk»adu
Pierwszy cz»on po prawej stronie równy jest ubytkowi energii potencjanej
wzajemnego oddzia»ywania czstek. Pokaómy to na przyk»adzie 3 czstek
Praw a zach owania 6
Drugi sk»adnik po prawej stronie jest równy ubytkowi energii potencjalnej
uk»adu w zewntrznym polu si» zachowawczych
Ostatni sk»adnik jest prac niezachowawczych si» zewntrznych
Czyli
ca»kowita energia mechaniczna uk»adu
Jeóeli nie ma zewntrznych si» niezachowawczych, to
, lub
Prawo zachowania energii mechanicznej
Ca»kowita energia mechaniczna uk»adu cia», na które dzia»aj tylko si»y
zachowawcze, jest sta»a.
Dla uk»adu zamknitego (w nieobecnoÑci si» zewntrznych)
Ca»kowita energia mechaniczna uk»adu zamknitego, wewntrz którego
dzia»aj tylko si»y zachowawcze, jest wielkoÑci sta».
Praw a zach owania 7
PRAWO ZACHOWANIA PDU
Rozwaómy uk»ad N wzajemnie oddzia»ywujcych ze sob czstek
si»y wewntrzne dzia»ajce na i-t czstk
wypadkowa si» zewntrznych dzia»ajcych na i-t czstk
Równanie ruchu dla i-tej czstki ma posta
Sumujc wszystkie powyósze N równa½ stronami otrzymujemy
Wprowadzajc pd uk»adu
Otrzymujemy
Przy braku si» zewntrznych
sta»y
, czyli pd uk»adu zamknitego jest
Prawo zachowania pdu
Pd zamknitego uk»adu punktów materialnych jest sta»y
Pd jest sta»y równieó w przypadku uk»adu nie zamknitego, o ile
wypadkowa si» zewntrznych jest równa zeru.
Praw a zach owania 8
PRAWO ZACHOWANIA MOMENTU PDU
Podobnie jak przy wyprowadzaniu zasady zachowania pdu rozwaómy uk»ad
N wzajemnie oddzia»ywujcych ze sob czstek
si»y wewntrzne dzia»ajce na i-t czstk
wypadkowa si» zewntrznych dzia»ajcych na i-t czstk
Równanie ruchu dla i-tej czstki ma posta
Pomnóómy kaóde z tych równa½ przez
odpowiedni wektor po»oóenia
Po wysumowaniu
Zauwaómy, óe suma momentów si» wewntrznych jest równa zeru
ºatwo to pokaza dla np. 3 czstek
Praw a zach owania 9
Mamy wic
Wprowadïmy oznaczenia
moment pdu i-tej czstki wzgldem punktu O
moment pdu uk»adu N czstek wzgldem punktu O
moment wypadkowej si»y zewntrznej dzia»ajcej na
i-t czstk wzgldem punktu O
wypadkowy moment si» zewntrznych dzia»ajcych
na uk»ad N czstek wzgldem punktu O
Ostatecznie otrzymujemy
Pochodna po czasie momentu pdu jest równa sumie momentów si»
zewntrznych.
Przy braku si» zewntrznych
Zasada zachowania momentu pdu
Moment pdu zamknitego uk»adu czstek jest sta»y.
Moment pdu jest sta»y równieó dla uk»adu niezamknitego, o ile ca»kowity
moment si» zewntrznych jest równy zeru.
Prawa zachowania 10
- rami wektora pdu
wzgldem punktu O
Rzut wektora
na pewn oÑ z przechodzc przez punkt O, wzgldem
którego jest okreÑlony wektor
wzgldem tej osi
nazywamy momentem pdu czstki
moment pdu uk»adu wzgldem osi z
- rami si»y
punktu O
Rzut wektora
wzgldem
na pewn oÑ z przechodzc
przez punkt O, wzgldem którego jest okreÑlony wektor
momentem si»y wzgldem tej osi
nazywamy
wypadkowy moment si» dzia»ajcych na uk»ad
wzgldem osi z
Prawa zachowania 11
Znak
okreÑlony jest przez znak
Moment si»y wzgldem osi charakteryzuje zdolnoÑ si»y do obracania cia»a
wzgldem tej osi. Sk»adowe
nie mog wywo»a obrotu wzgldem
osi z. Obrót wokó» osi z moóe by wywo»any tylko sk»adow
.
Moment pary si»
Para si» - dwie równe co do wartoÑci i o
równoleg»ym kierunku si »y o
przeciwnych zwrotach, nie dzia»ajce
wzd»uó jednej prostej.
l - rami pary si»
Moment pary si» nie zaleóy od wyboru
punktu O
Moment pary si» jest liczbowo równy iloczynowi wartoÑci jednej z si» i
ramienia pary si».
Prawa zachowania 12
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)