Prawa (tautologie) rachunku zdań. Metoda zerojedynkowa W języku rachunku zdań - to jest przy pomocy znanych już nam zmiennych zdaniowych (p, q, r, s,) oraz stałych (~, →, , , ) i nawiasów - można sformułować schemat dowolnego zdania złożonego, zarówno należącego do języka codziennego i naukowego. Wystarczy zastąpić zdania proste zmiennymi zdaniowymi (p, q, r, s,..,), a spójniki zdaniowe języka naturalnego zastąpić ich symbolicznymi odpowiednikami, czyli funktorami (~, →, , , ). Uzyskane w ten sposób schematy zdaniowe można podzielić na trzy grupy:
1) schematy, które reprezentują wyłącznie zdania prawdziwe;
2) schematy, które reprezentują wyłącznie zdania fałszywe;
3) schematy, które reprezentują zarówno zdania prawdziwe, jak i fałszywe.
Schematy z pierwszej grupy reprezentują zawsze zdania prawdziwe, niezależnie od wartości pojedynczych zdań, z których są zbudowane, tzn. przy wszystkich kombinacjach wartości logicznych (prawdy i fałszu) tych zdań. Takie schematy nazwamy tautologiami rachunku zdań.
Schematy drugiej grupy, z tej racji, że zawsze reprezentują zdania fałszywe, nazywane są czasami kontr-tautologiami.
Dodajmy jeszcze, że schematy grupy drugiej i trzeciej nie powinny stanowić wzoru naszego rozumowania, jeśli ma być ono poprawne, tzn. gdy oczekujemy od niego prawdziwych wniosków.
Pamiętamy, że z formuł, które do tej pory poznaliśmy, większość (a ściślej te, które uznaliśmy za prawa rachunku zdań) należy do pierwszej grupy. Tylko nieliczne znalazły się w grupie trzeciej.
Wszystkie formuły rachunku zdań mają postać schematów zdaniowych, w których zdania proste są reprezentowane przez symbole literowe, a zdania złożone - przez układy tych symboli połączonych stosownymi funktorami zdaniowymi. Takie formuły rachunku zdań są to tylko wzory pozbawione własnej treści materialnej, dlatego trudno nazwać je zdaniami. Stanowią jedynie schemat, czyli swego rodzaju kościec, na który można niejako nawlec zdanie „materialne”, przy czym na jeden i ten sam schemat można „nawlec” zdania o przeróżnej treści, z różnych dziedzin. Jeśli taki schemat jest prawdziwy, tzn. jest tautologią, a jakieś zdanie pozwala się zapisać w postaci tej formuły, to znaczy, że jest ono prawdziwe. Formuła rachunku zdań może być uznana za tautologię wtedy i tylko wtedy, gdy przedstawia sobą schemat zdań wyłącznie prawdziwych. Wartość logiczna zdania złożonego, zbudowanego ze zdań prostych za pomocą funktorów oraz zmiennych zdaniowych, zależy wyłącznie od wartości logicznych tych zdań i rodzaju spójników, które je łączą. Wartość logiczną (prawdę albo fałsz) takich zdań złożonych możemy ustalić, zaglądając do matryc (implikacji, alternatywy, koniunkcji i pozostałych formuł). Za pomocą tych tabel możemy ustalić, czy dany schemat prawdziwościowy jest czy nie jest tautologią logiczną rachunku zdań. Trzeba sprawdzić, czy zdania reprezentowane przez dany schemat są zawsze prawdziwe, niezależnie od kombinacji wartości logicznych zdań prostych (reprezentowanych w tym schemacie przez zmienne zdaniowe), z których ten schemat jest zbudowany. Jeśli są, to dany schemat może być uznany za tautologię rachunku zdań.
(…)
…, a mianowicie: p=1, q=0, r=1. Zbadajmy wobec tego, jak przy tych podstawieniach zachowuje się poprzednik, który stanowi również formułę implikacyjną {(p q) → r}. Dla r=1, q=0 i p=1 ta formuła redukuje się do 1: (1 0) = 0, a (0 → 1) = 1. Więc cała formuła nie może być tautologią, bo 1 nie implikuje 0.
Przypomnijmy jeszcze, że formuły, które nie są tautologiami, nie powinny służyć za schemat wnioskowania…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)